📝 题目
2．计算下列对坐标的曲线积分． （1） $\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x$ ，其中 $L$ 为抛物线 $y=x^{2}$ 上从点 $O(0,0)$ 到点 $A(2,4)$ 的一段弧； （2）$\displaystyle{\oint}_{L} x^{2} y^{2} \mathrm{~d} x+x y^{2} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为直线 $x=1$ 与抛物线 $x=y^{2}$ 围成的区域的边界（按逆时针方向绕行）； （3）$\displaystyle{\oint}_{L} y \mathrm{~d} x$ ，其中 $L$ 为直线 $x=0, y=0, x=4$ 及 $y=2$ 围成的矩形区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； （4） $\displaystyle{\int}_{L} y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为圆周 $x=R \cos t, y=R \sin t$ 上对应于 $t$ 从 0 到 $\frac{\pi}{2}$ 的一段弧； （5）$\displaystyle{\oint}_{L}(x+y)^{2} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=2 a x(a\gt 0)$（按逆时针方向绕行）； （6）$\displaystyle{\oint}_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$（按逆时针方向绕行）； （7） $\displaystyle{\int}_{L}(1+2 x y) \mathrm{d} x+x^{2} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为从点 $(1,0)$ 到点 $(-1,0)$ 的上半椭圆周 $x^{2}+2 y^{2}=1(y \geqslant 0) ;$ （8） $\displaystyle{\int}_{L}(x+y) \mathrm{d} x+x y \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为折线段 $y=1-|1-x|$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(2,0)$的一段； （9） $\displaystyle{\int}_{L}(2 a-y) \mathrm{d} x-(a-y) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \text { ，上从点 }(0,0) \text { 到点 } \\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right. (2 \pi a, ~ 0)$ 的一段弧； （10） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为从点 $(1,1,1)$ 到点 $(2,3,4)$ 的直线段； （11）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} \mathrm{d} x-\mathrm{d} y+y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为定向闭折线 $A B C A$ ，这里的 $A 、 B 、 C$ 依次为点 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) ;$ （12） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为螺旋线 $x=a \cos t, y=a \sin t, z=k t$ 上相应于 $t$ 从 0 到 $2 \pi$ 的一段弧； （13） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为曲线 $x=1-\cos t, y=\sin t, z=t^{3}$ 上相应于 $t$ 从 0 到 $\pi$的一段弧。
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 曲线 $L: y=x^2$，$x$ 从 $0$ 到 $2$，则 $$ \int_L (x^2-y^2)\,dx = \int_0^2 \bigl(x^2 - (x^2)^2\bigr)\,dx = \int_0^2 (x^2 - x^4)\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \frac{8}{3} - \frac{32}{5} = \frac{40-96}{15} = -\frac{56}{15}. $$
**（2）** 区域边界由 $x=1$ 与 $x=y^2$ 围成，交点 $(1,1)$ 和 $(1,-1)$。逆时针方向： - 沿 $x=y^2$ 从 $(1,-1)$ 到 $(1,1)$，$y$ 从 $-1$ 到 $1$，$dx=2y\,dy$， $$ \int_{L_1} x^2y^2\,dx + xy^2\,dy = \int_{-1}^{1} \bigl((y^2)^2 y^2\cdot 2y + y^2\cdot y^2\bigr)\,dy = \int_{-1}^{1} (2y^7 + y^4)\,dy. $$ 奇函数 $2y^7$ 积分为 $0$，偶函数 $y^4$ 积分为 $2\int_0^1 y^4\,dy = \frac{2}{5}$。 - 沿 $x=1$ 从 $(1,1)$ 到 $(1,-1)$，$dx=0$，$y$ 从 $1$ 到 $-1$， $$ \int_{L_2} = \int_{1}^{-1} 1\cdot y^2\,dy = \int_{1}^{-1} y^2\,dy = -\frac{2}{3}. $$ 总和：$\frac{2}{5} - \frac{2}{3} = \frac{6-10}{15} = -\frac{4}{15}$。
**（3）** 矩形边界：$x=0, x=4, y=0, y=2$，逆时针。 - 下边 $y=0$，$dy=0$，$x$ 从 $0$ 到 $4$，$\int 0\,dx=0$。 - 右边 $x=4$，$dx=0$，$y$ 从 $0$ 到 $2$，$\int y\cdot0=0$。 - 上边 $y=2$，$dy=0$，$x$ 从 $4$ 到 $0$，$\int 2\,dx = 2\cdot(0-4)=-8$。 - 左边 $x=0$，$dx=0$，$y$ 从 $2$ 到 $0$，$\int y\cdot0=0$。 总和：$-8$。
**（4）** 参数方程 $x=R\cos t,\ y=R\sin t$，$t:0\to\frac{\pi}{2}$， $dx=-R\sin t\,dt,\ dy=R\cos t\,dt$， $$ \int_L y\,dx+x\,dy = \int_0^{\pi/2} \bigl(R\sin t(-R\sin t) + R\cos t\cdot R\cos t\bigr)dt = R^2\int_0^{\pi/2} (-\sin^2 t+\cos^2 t)dt = R^2\int_0^{\pi/2} \cos 2t\,dt = R^2\left[\frac{\sin 2t}{2}\right]_0^{\pi/2}=0. $$
**（5）** 圆周 $x^2+y^2=2ax$ 即 $(x-a)^2+y^2=a^2$，参数化 $x=a+a\cos\theta,\ y=a\sin\theta$，$\theta:0\to2\pi$ 逆时针。 $dy = a\cos\theta\,d\theta$， $$ \oint_L (x+y)^2\,dy = \int_0^{2\pi} (a+a\cos\theta+a\sin\theta)^2\cdot a\cos\theta\,d\theta. $$ 展开 $(a(1+\cos\theta+\sin\theta))^2 = a^2(1+\cos\theta+\sin\theta)^2$， 被积函数为 $a^3\cos\theta(1+\cos\theta+\sin\theta)^2$。 利用对称性，$\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0$，$\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi$，$\int_0^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=0$，交叉项积分为零，主要项来自 $\cos\theta\cdot 2\cos\theta = 2\cos^2\theta$ 以及 $\cos\theta\cdot 2\sin\theta$ 为零，常数项乘 $\cos\theta$ 积分为零。 实际上精确计算： $(1+\cos\theta+\sin\theta)^2 = 1+\cos^2\theta+\sin^2\theta+2\cos\theta+2\sin\theta+2\cos\theta\sin\theta = 2+2\cos\theta+2\sin\theta+2\cos\theta\sin\theta$， 乘 $\cos\theta$：$2\cos\theta+2\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+2\cos^2\theta\sin\theta$。 在 $0$ 到 $2\pi$ 积分，$\int\cos\theta=0$，$\int\cos^2\theta=\pi$，$\int\sin\theta\cos\theta=0$，$\int\cos^2\theta\sin\theta=0$（奇函数），故结果为 $a^3\cdot2\pi = 2\pi a^3$。
**（6）** 圆周 $x^2+y^2=a^2$，参数 $x=a\cos t,\ y=a\sin t$，$t:0\to2\pi$， $dx=-a\sin t\,dt,\ dy=a\cos t\,dt$，分母 $x^2+y^2=a^2$， $$ \oint_L \frac{(x+y)dx+(y-x)dy}{a^2} = \frac{1}{a^2}\int_0^{2\pi} \bigl[(a\cos t+a\sin t)(-a\sin t)+(a\sin t-a\cos t)(a\cos t)\bigr]dt $$ 化简括号内： 第一项：$a\cos t(-a\sin t)+a\sin t(-a\sin t) = -a^2\cos t\sin t -a^2\sin^2 t$， 第二项：$a\sin t(a\cos t)-a\cos t(a\cos t) = a^2\sin t\cos t -a^2\cos^2 t$， 相加得 $-a^2(\sin^2 t+\cos^2 t) = -a^2$， 因此积分 $= \frac{1}{a^2}\int_0^{2\pi}(-a^2)dt = -2\pi$。
**（7）** 上半椭圆 $x^2+2y^2=1$，$y\ge0$，从 $(1,0)$ 到 $(-1,0)$，参数 $x=\cos\theta,\ y=\frac{\sin\theta}{\sqrt{2}}$，$\theta:0\to\pi$， $dx=-\sin\theta\,d\theta,\ dy=\frac{\cos\theta}{\sqrt{2}}\,d\theta$， $$ \int_L (1+2xy)dx+x^2dy = \int_0^\pi \left[\left(1+2\cos\theta\frac{\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)(-\sin\theta) + \cos^2\theta\cdot\frac{\cos\theta}{\sqrt{2}}\right]d\theta. $$ 分开： 第一项 $-\sin\theta - \frac{2}{\sqrt{2}}\cos\theta\sin^2\theta = -\sin\theta - \sqrt{2}\cos\theta\sin^2\theta$， 第二项 $\frac{\cos^3\theta}{\sqrt{2}}$， 积分 $\int_0^\pi -\sin\theta\,d\theta = -2$， $\int_0^\pi \cos\theta\sin^2\theta\,d\theta = 0$（奇对称）， $\int_0^\pi \cos^3\theta\,d\theta = 0$（奇对称）， 故结果为 $-2$。
**（8）** 折线 $y=1-|1-x|$ 从 $(0,0)$ 到 $(2,0)$，即 $y=x$ 当 $0\le x\le1$，$y=2-x$ 当 $1\le x\le2$。 分段： - 第一段 $y=x$，$dy=dx$，$x:0\to1$