📝 题目
3．在形状为 $z=x^{2}+y^{2}$ 的容器内，已盛有 $8 \mathrm{~cm}^{3}$ 的液体，现又倒入 $120 \mathrm{~cm}^{3}$ 的溶液，问液面比原来升高了多少？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知容器形状由旋转抛物面 $z = x^2 + y^2$ 给出，这里 $z$ 表示高度。液体体积由高度决定，因此需要利用体积积分求出不同高度对应的体积，再计算高度差。
**第一步：建立体积与高度的关系** 在高度 $z = h$ 处，水平截面是圆： $$ x^2 + y^2 \le h $$ 半径为 $\sqrt{h}$，截面面积为 $$ A(h) = \pi (\sqrt{h})^2 = \pi h $$ 因此，从高度 $0$ 到高度 $H$ 的液体体积为 $$ V(H) = \int_{0}^{H} A(h)\, dh = \int_{0}^{H} \pi h \, dh $$ 计算得 $$ V(H) = \pi \cdot \frac{h^2}{2} \Big|_{0}^{H} = \frac{\pi H^2}{2} $$
**第二步：求原来液面高度** 原来液体体积为 $8\,\mathrm{cm}^3$，设原来高度为 $H_1$，则 $$ \frac{\pi H_1^2}{2} = 8 $$ 解得 $$ H_1^2 = \frac{16}{\pi},\quad H_1 = \sqrt{\frac{16}{\pi}} = \frac{4}{\sqrt{\pi}} $$
**第三步：求倒入后液面高度** 加入 $120\,\mathrm{cm}^3$ 后总体积为 $$ 8 + 120 = 128\,\mathrm{cm}^3 $$ 设新高度为 $H_2$，则 $$ \frac{\pi H_2^2}{2} = 128 $$ 解得 $$ H_2^2 = \frac{256}{\pi},\quad H_2 = \sqrt{\frac{256}{\pi}} = \frac{16}{\sqrt{\pi}} $$
**第四步：计算升高高度** 升高量为 $$ \Delta H = H_2 - H_1 = \frac{16}{\sqrt{\pi}} - \frac{4}{\sqrt{\pi}} = \frac{12}{\sqrt{\pi}} $$ 所以 $$ \boxed{\dfrac{12}{\sqrt{\pi}}\ \mathrm{cm}} $$
难度：★★☆☆☆ （主要考察旋转抛物面体积积分与简单代数运算，计算量小，思路直接）