📝 题目
28．设圆盘的圆心在原点上，半径为 $R$ ，面密度 $\rho=x^{2}+y^{2}$ ，求该圆盘的质量．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 该圆盘的质量由二重积分给出：
$$ M = \iint\limits_{D} \rho(x,y) \, \mathrm{d}\sigma $$
其中区域 $ D $ 为圆心在原点、半径为 $ R $ 的圆盘： $ D: x^2 + y^2 \le R^2 $，面密度为 $\rho = x^2 + y^2$。
采用极坐标变换： 令 $ x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta $，则 面积元 $\mathrm{d}\sigma = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$， 且 $\rho = x^2 + y^2 = r^2$。
积分区域变为： $ 0 \le r \le R,\ 0 \le \theta \le 2\pi $。
因此质量：
$$ M = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{R} (r^2) \cdot r \, \mathrm{d}r = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{R} r^3 \, \mathrm{d}r $$
先计算内层积分：
$$ \int_{0}^{R} r^3 \, \mathrm{d}r = \left. \frac{r^{4}}{4} \right|_{0}^{R} = \frac{R^{4}}{4} $$
再计算外层积分：
$$ \int_{0}^{2\pi} \frac{R^{4}}{4} \, \mathrm{d}\theta = \frac{R^{4}}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi R^{4}}{2} $$
因此圆盘的质量为：
$$ \boxed{M = \frac{\pi R^{4}}{2}} $$
难度：★☆☆☆☆