📝 题目
3．已知级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 的前 $n$ 项的部分和 $S_{n}=\frac{8^{n}-1}{7 \times 8^{n-1}}$ ，求这个级数．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的部分和为 $$ S_n = \frac{8^n - 1}{7 \times 8^{n-1}}. $$ 首先化简 $S_n$： $$ S_n = \frac{8^n - 1}{7 \cdot 8^{n-1}} = \frac{8^n}{7 \cdot 8^{n-1}} - \frac{1}{7 \cdot 8^{n-1}} = \frac{8}{7} - \frac{1}{7 \cdot 8^{n-1}}. $$ 于是级数的通项为 $$ u_n = S_n - S_{n-1}, \quad n \geq 2, $$ 且 $u_1 = S_1$。
先计算 $S_1$： $$ S_1 = \frac{8}{7} - \frac{1}{7 \cdot 8^{0}} = \frac{8}{7} - \frac{1}{7} = 1. $$ 所以 $u_1 = 1$。
对于 $n \geq 2$： $$ S_{n-1} = \frac{8}{7} - \frac{1}{7 \cdot 8^{n-2}}. $$ 于是 $$ u_n = \left( \frac{8}{7} - \frac{1}{7 \cdot 8^{n-1}} \right) - \left( \frac{8}{7} - \frac{1}{7 \cdot 8^{n-2}} \right) = -\frac{1}{7 \cdot 8^{n-1}} + \frac{1}{7 \cdot 8^{n-2}}. $$ 提取公因子 $\frac{1}{7 \cdot 8^{n-2}}$： $$ u_n = \frac{1}{7 \cdot 8^{n-2}} \left( 1 - \frac{1}{8} \right) = \frac{1}{7 \cdot 8^{n-2}} \cdot \frac{7}{8} = \frac{1}{8^{n-1}}. $$ 验证 $n=1$ 时，$\frac{1}{8^{0}} = 1$，与 $u_1$ 一致。
因此级数为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} u_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{8^{n-1}}. $$ 这是一个公比为 $\frac{1}{8}$ 的等比级数，其和为 $$ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{8}{7}. $$
难度：★★☆☆☆