第8章

1．选择题． （1）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ，则级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} u_{n}(\quad)$ 。 A．一定收敛 B．一定发散 C．一定条件收敛 D．可能收敛，也可能发散 （2）若常数项级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 发散，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)()$ 。 A．收敛 B．可能收敛 C．一定发散 D．通项的极限必为 0 （3）若级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a u_{n}(a \neq 0) ~(\quad)$ 。 A．一定发散 B．可能收敛也可能发散 C．$a\gt 0$ 时收敛，$a\lt 0$ 时发散 D．$|a|\lt 1$ 时收敛，$|a|\gt 1$ 时发散 （4）利用级数收敛时其一般项必趋于 0 的性质，可知下面一定发散的级数是（）。 A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi}{3^{n}}$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n 2^{n}}{3^{n}}$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{1}{n^{2}}$ D． $1-\frac{3}{2}+\frac{4}{3}-\cdots+(-1)^{n+1} \frac{n+1}{n}+\cdots$ （5）若级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则下列级数中收敛的是 ． A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+100\right)$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-100\right)$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} 100 u_{n}$ D．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{100}{u_{n+1}-u_{n}}$

10．已知级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 的前 $n$ 项的部分和 $S_{n}=\frac{2 n}{n+1}, n=1,2, \cdots$ ． （1）求级数的一般项 $u_{n}$ ； （2）判断级数的收敛性。

2．写出级数的一般项． （1）$\frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 3}+\frac{1}{4 \ln 4}+\cdots$ ； （2）$\frac{1+1}{1+2}+\frac{1+2}{1+2^{2}}+\frac{1+3}{1+2^{3}}+\cdots$ ； （3）$\frac{1}{2}+\frac{2}{5}+\frac{3}{10}+\frac{4}{17}+\cdots$ ； （4）$\frac{1}{1}+\frac{1}{5}+\frac{1}{9}+\frac{1}{13}+\cdots$ ； （5） $1-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\cdots$ ； （6）$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots$ ； （7） $1+\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}+\cdots$ ； （8）$\frac{1}{2}+\frac{3}{2 \cdot 4}+\frac{5}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\frac{7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}+\cdots$ ．

3．已知级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 的前 $n$ 项的部分和 $S_{n}=\frac{8^{n}-1}{7 \times 8^{n-1}}$ ，求这个级数．

4．判别级数 $\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2 \times 10}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{10 n}+\cdots$ 是否收敛．

5．判断下列级数的玫散性． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1) n}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \frac{n+1}{n}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}[a+(n-1) b](a\gt 0, b\gt 0)$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{8^{n}}{9^{n}}$ ．

6．写出下列级数的通项，并判断级数的玫散性． （1）$\frac{3}{4}-\frac{3^{2}}{4^{2}}+\frac{3^{3}}{4^{3}}-\frac{3^{4}}{4^{4}}+\cdots$ ； （2）$\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{3}{4}}+\cdots$ ； （3）$\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{5}\right)+\left(\frac{1}{3^{2}}-\frac{2}{5^{2}}\right)+\left(\frac{1}{3^{3}}-\frac{2}{5^{3}}\right)+\cdots$ ； （4）$\left(\frac{1}{2}+2\right)+\left(\frac{1}{2^{2}}+2^{2}\right)+\left(\frac{1}{2^{3}}+2^{3}\right)+\cdots$ ； （5）$(1-\cos 1)+4\left(1-\cos \frac{1}{2}\right)+9\left(1-\cos \frac{1}{3}\right)+16\left(1-\cos \frac{1}{4}\right)+\cdots$ 。

7．根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性，并求出其中收敛级数的和． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\mathrm{e}^{n}}{3^{n}}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1)(n+1)}$ ．

8．判别下列级数的收敛性，并求出其中收敛级数的和． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5 n}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin \frac{n \pi}{3}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^{n}}{2^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2 n-1}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \ln \frac{n^{2}-1}{n^{2}}$ ．

9．就级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛或发散两种情况分别讨论下列级数的敛散性。 （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+10^{-10}\right)$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n+1000}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{u_{n}}\left(u_{n} \neq 0\right)$ ．

1．选择题． （1）下列级数收敛的是（）。 A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(\cos n)^{2}}{5^{n}}$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}}{4^{n}}$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{1000 n+1}$ D．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ （2）下列级数发散的是（ ）． A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n^{3}}\right)$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ D．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n^{2}}$ （3）交错级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}$ 若满足 则交错级数收敛。 A．$u_{n} \geqslant u_{n+1}(n=1,2,3, \cdots)$ B． $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ C． $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \leqslant 1$ D．$u_{n} \geqslant u_{n+1}(n=1,2,3, \cdots)$ 且 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ （4）设 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 为任意项级数，那么（ ． A．如果 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 收敛，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛 B．如果 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 条件收敛 C．如果 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 收敛，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛 D．如果 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛 （5）下列级数条件收敛的是 ． A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \sin \frac{1}{n}$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{2^{n}}$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{2 n+3}$ D．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{3 n^{2}+1}$ （6）下列级数中绝对收敛的是（ ． A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{2 n+1}}$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{3}{2}\right)^{n}$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n^{3}}}$ D．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n-1)}{n}$ （7）级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a^{n}}$ 的敛散情况是（ ． A．当 $a\gt 0$ 时收敛 B．当 $a\gt 0$ 时发散 C．当 $0\lt |a| \leqslant 1$ 时发散，当 $|a|\gt 1$ 时收敛 D．当 $0\lt |a| \leqslant 1$ 时收敛，当 $|a|\gt 1$ 时发散

10．判定下列级数的玫散性． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sqrt{n+1}\left(1-\cos \frac{\pi}{n}\right)$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(n+a)^{n}}{n^{n+a}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\pi}{n}-\sin \frac{\pi}{n}\right)$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(\ln \ln n)^{\ln n}}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{\mathrm{e}^{n}}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)^{n}$ ．

11．设正项数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少且级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散，试问级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{a_{n}+1}\right)^{n}$ 是否收敛？并说明理由。

12．设 $u_{n} \neq 0(n=1,2, \cdots)$ 且 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{u_{n}}=1$ ，问级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_{n}}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$ 是否收敛？

13．讨论级数 $\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \sin \left(n \pi+\frac{1}{\ln n}\right)$ 的收敛性，若收敛，问是绝对收敛，还是条件收敛？

2．用比较审敛定理判别级数的敛散性。 （1） $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots$ ； （2）$\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}+\frac{1}{\ln 4}+\frac{1}{\ln 5}+\cdots$ ； （3）$\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\cdots$ ； （4）$\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}+\left(\frac{3}{7}\right)^{2}+\left(\frac{4}{9}\right)^{2}+\cdots$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1) 2^{n-1}}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi}{2^{n}}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n\left(1-\cos \frac{1}{n^{2}}\right)$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{\frac{4}{3}}}$ ； （9）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1\right)$ ； （10）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1+n}{1+n^{2}}$ ； （11）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+n}{1+n^{2}}\right)^{2}$ ； （12）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \frac{n+1}{n-1}$ ．

3．用比值判别法判定下列级数的收敛性。 （1）$\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{3}{2 \cdot 2^{2}}+\frac{5}{3 \cdot 2^{3}}+\frac{7}{4 \cdot 2^{4}}+\cdots$ ； （2）$\frac{2}{1 \cdot 3}+\frac{2^{2}}{2 \cdot 4}+\frac{2^{3}}{3 \cdot 5}+\frac{2^{4}}{4 \cdot 6}+\cdots$ ； （3）$\frac{1!}{1}+\frac{2!}{2^{2}}+\frac{3!}{2^{3}}+\frac{4!}{2^{4}}+\cdots$ ； （4） $\sin \frac{1}{2}+2 \sin \frac{1}{2^{2}}+3 \sin \frac{1}{2^{3}}+4 \sin \frac{1}{2^{4}}+\cdots$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n \cdot 2^{n}}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n \tan \frac{\pi}{2^{n+1}}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n-1)!!}{3^{n} \cdot n!}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} 2^{n-1} \tan \frac{\pi}{2 n}$ ．

4．用根值判别法判定下列级数的收敛性． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{[\ln (n+1)]^{n}}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3 n+1}\right)^{2 n}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{2^{n}}{\sqrt{n^{n}}}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}}{3^{n}}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b}{a_{n}}\right)^{n}, a_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty), a_{n}, b, a \in \mathbf{R}^{+}$．

5．判定下列级数的玫散性． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(3 n+2)\left(n^{2}+1\right)}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3 n+1}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n(n+2)}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sqrt{\frac{n+1}{n}}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \ln \frac{n^{2}-1}{n^{2}}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ^{2} \frac{n \pi}{2}}{2^{n}}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$ ； （9）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n a+b}(a\gt 0, b\gt 0)$ ； （10）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin ^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{b}{n}\right)$ ； （11）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n!}$ ； （12）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{-\frac{n^{2}+1}{n+1}}$ ．

6．判定下列级数的敛散性，若级数收敛，判断是绝对收敛还是条件收敛． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{3^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n-1)}{n}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n}{10 n+1}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{2 n^{3}+4}}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}} \sin \frac{\pi}{n}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n}$ ； （9）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ ； （10）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(1-\cos \frac{\pi}{n^{2}}\right)$ ．

7．设 $a_{n} \leqslant c_{n} \leqslant b_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛，证明级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 收敛．

8．如果 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 及 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}$ 都收敛，证明：$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right|$ 收敛。

9．设 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n}=q\left(a_{n}\gt 0\right)$ ，证明级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 当 $q\gt 1$ 时收敛，当 $q\lt 1$ 时发散．

1．选择题． （1）级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n} n}$ 的收敛半径 $R=$ ． A． 1 B． 2 C．$\frac{1}{2}$ D．$\infty$ （2）级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{2+n} x^{n}$ 的收敛半径 $R=$ ． A． 1 B． 2 C．$\frac{1}{2}$ D．$\infty$ （3）级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(2 n-1)(2 n)}$ 的收敛域为 ． A．$[-1,1]$ B．$(-1,1)$ C．$[-1,1)$ D．$(-\infty,+\infty)$ （4）幂级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty}(x-3)^{n}$ 的收敛域是 ． A．$(-1,1)$ B．$(2,4)$ C．$[2,4]$ D．$(2,4]$

2．求下列幂级数的收敛半径与收敛域． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{n}}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{2^{n}}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3 n+1}}{(2 n-1) 2^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n 4^{n-1} x^{2 n}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n} x^{n}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+4^{n}\right] x^{n}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n}}{n^{2}}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{(2 n)!!}$ ； （9）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{2}+1} x^{n}$ ； （10）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n \cdot 3^{n}}$ ； （11）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$ ； （12）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ ．

3．求下列幂级数的收敛半径与收敛域． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}(x-1)^{n}(p\gt 0)$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2 n-1}}{n \sqrt{n}}(x+1)^{n}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} 2^{n}(x+a)^{2 n}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{(x-a)^{3 n}}{(3 n)!}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n}(x+1)^{n}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{a^{n}+b^{n}} \quad(a\gt 0, b\gt 0)$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a^{n}}{n}+\frac{b^{n}}{n^{2}}\right) x^{n} \quad(a\gt 0, b\gt 0)$ ．

4．求下列幂级数的和函数． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4 n+1}}{4 n+1}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n \cdot 4^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n-1) n}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{2} x^{n-1}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n(n+1)}$ ；

5．写出下列函数的带皮亚诺型余项的麦克劳林公式： $(1) f(x)=\mathrm{e}^{3 x}$ ； （2）$f(x)=2 \sin x \cdot \cos x$ ； （3）$f(x)=\sqrt{1+x}$ ； （4）$f(x)=\ln \left(1-x^{2}\right)$ ．

6．将下列函数展开成关于 $x$ 的幂级数，并指出展开式成立的区间。 （1）$a^{x}$ ； （2） $\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ； （3）$\frac{1}{x^{2}-3 x+2}$ ； （4）$\frac{1}{1+x^{2}}$ ； （5） $\ln (1+x)$ ； （6）$\frac{1}{(1-x)^{2}}$ ； （7） $\cos ^{2} x$ ； （8）$\frac{x^{4}}{1-x}$ ； （9）$\frac{x}{1-x^{2}}$ ； （10）$\frac{x}{4+x^{2}}$ ； （11）$(x+1)(\ln (1+x)-1)$ ； （12） $\arctan \frac{4+x^{2}}{4-x^{2}}$ ； （13） $\ln \frac{1+x}{1-x}$ ．

7．将下列函数展开成 $x-x_{0}$ 的幂级数（即在点 $x_{0}$ 处的泰勒级数），并指出展开式成立的区间。 （1）$\frac{1}{x^{2}+4 x+3}, x_{0}=1$ ； （2）$\sqrt{x}, x_{0}=1$ ； （3）$\frac{1}{x^{2}}, x_{0}=1$ ； （4） $\ln \frac{x}{1+x}, x_{0}=1$ ； （5）$\frac{1}{2-x}, x_{0}=-2$ ； （6） $\mathrm{e}^{x}, x_{0}=-1$ ．

1．下列周期函数 $f(x)$ 的周期为 $2 \pi$ ，试将 $f(x)$ 展开为傅里叶级数． （1）$f(x)=3 x^{2}+1(-\pi \leqslant x\lt \pi)$ ； （2）$f(x)=\mathrm{e}^{2 x}(-\pi \leqslant x\lt \pi)$ ； （3）$f(x)=2 \sin \frac{x}{3}(-\pi \leqslant x\lt \pi)$ ； （4）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{x}, & -\pi \leqslant x\lt 0, \\ 1, & 0 \leqslant x \leqslant \pi .\end{array}\right.$

2．将下列周期函数（已给出函数在一个周期内的表达式）展开成傅里叶级数。 （1）$f(x)=1-x^{2} \quad\left(-\frac{1}{2} \leqslant x\lt \frac{1}{2}\right)$ ； （2）$f(x)= \begin{cases}2 x+1, & -3 \leqslant x\lt 0, \\ 1, & 0 \leqslant x\lt 3 ;\end{cases}$ （3）$f(x)=x \cos x \quad\left(-\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ ； （4）$f(x)= \begin{cases}\cos \frac{\pi x}{l}, & |x| \leqslant \frac{l}{2}, \\ 0, & \frac{l}{2}\lt |x| \leqslant l\end{cases}$

3．将函数 $f(x)=\sin ^{4} x$ 展开成傅里叶级数。

4．将 $f(x)=\pi^{2}-x^{2}(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ 展开成傅里叶级数。

5．将 $f(x)=x^{2}$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 上展开成傅里叶级数，并求 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}$ ．

6．将函数 $f(x)=|\sin x|$ 在数轴上展开成傅里叶级数。

7．设在区间 $[-\pi, \pi]$ 上 $f(x)$ 为可积的偶函数，且 $f\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ ，证明在 $f(x)$ 的展开式中系数 $a_{2 n}=0$ ．

8．怎样才能将在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内可积的函数 $f(x)$ 延拓到 $[-\pi, \pi)$ ，使其傅里叶展开式为 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} A_{n} \sin (2 n-1) x$ ？

9．已知 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的函数，$a_{n} 、 b_{n}$ 为其傅里叶系数，试将 $F(x)=\frac{1}{\pi} \displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} f(t) f(x+t) \mathrm{d} t$ 展开成傅里叶级数。 <img src="/static/img/textbook/326dd27c4102.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">