📝 题目
2．将下列周期函数（已给出函数在一个周期内的表达式）展开成傅里叶级数。 （1）$f(x)=1-x^{2} \quad\left(-\frac{1}{2} \leqslant x\lt \frac{1}{2}\right)$ ； （2）$f(x)= \begin{cases}2 x+1, & -3 \leqslant x\lt 0, \\ 1, & 0 \leqslant x\lt 3 ;\end{cases}$ （3）$f(x)=x \cos x \quad\left(-\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ ； （4）$f(x)= \begin{cases}\cos \frac{\pi x}{l}, & |x| \leqslant \frac{l}{2}, \\ 0, & \frac{l}{2}\lt |x| \leqslant l\end{cases}$
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们逐一展开为傅里叶级数。
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### （1） $f(x)=1-x^{2}$，定义在 $-\frac12 \le x < \frac12$，周期 $T=1$，半周期 $l = \frac12$。 傅里叶系数公式： $$ a_0 = \frac{2}{T} \int_{-l}^{l} f(x) \, dx $$ $$ a_n = \frac{2}{T} \int_{-l}^{l} f(x) \cos(2\pi n x) \, dx $$ $$ b_n = \frac{2}{T} \int_{-l}^{l} f(x) \sin(2\pi n x) \, dx $$ 这里 $T=1$，$l=1/2$。
计算 $a_0$： $$ a_0 = 2 \int_{-1/2}^{1/2} (1-x^2) \, dx = 2 \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1/2}^{1/2} = 2 \left( \frac12 - \frac{1}{24} - \left(-\frac12 + \frac{1}{24}\right) \right) = 2 \left( 1 - \frac{1}{12} \right) = \frac{11}{6} $$
计算 $a_n$（$n\ge 1$）： 由于 $1-x^2$ 是偶函数，$\cos(2\pi n x)$ 是偶函数，$\sin$ 项积分为零，故 $b_n=0$。
$$ a_n = 2 \int_{-1/2}^{1/2} (1-x^2) \cos(2\pi n x) \, dx = 4 \int_{0}^{1/2} (1-x^2) \cos(2\pi n x) \, dx $$
分部积分两次： 令 $I = \int (1-x^2) \cos(2\pi n x) dx$ 先算 $\int \cos(2\pi n x) dx = \frac{\sin(2\pi n x)}{2\pi n}$ $\int x^2 \cos(2\pi n x) dx$ 用分部积分： 设 $u=x^2$，$dv=\cos(2\pi n x) dx$，则 $du=2x dx$，$v=\frac{\sin(2\pi n x)}{2\pi n}$ $$ \int x^2 \cos(2\pi n x) dx = \frac{x^2 \sin(2\pi n x)}{2\pi n} - \frac{1}{\pi n} \int x \sin(2\pi n x) dx $$ 再分部：$\int x \sin(2\pi n x) dx$，设 $u=x$，$dv=\sin(2\pi n x) dx$，得 $du=dx$，$v=-\frac{\cos(2\pi n x)}{2\pi n}$ $$ = -\frac{x \cos(2\pi n x)}{2\pi n} + \frac{1}{2\pi n} \int \cos(2\pi n x) dx = -\frac{x \cos(2\pi n x)}{2\pi n} + \frac{\sin(2\pi n x)}{(2\pi n)^2} $$ 代回： $$ \int x^2 \cos(2\pi n x) dx = \frac{x^2 \sin(2\pi n x)}{2\pi n} - \frac{1}{\pi n}\left( -\frac{x \cos(2\pi n x)}{2\pi n} + \frac{\sin(2\pi n x)}{(2\pi n)^2} \right) $$ $$ = \frac{x^2 \sin(2\pi n x)}{2\pi n} + \frac{x \cos(2\pi n x)}{2\pi^2 n^2} - \frac{\sin(2\pi n x)}{2\pi^3 n^3} $$
于是： $$ \int (1-x^2)\cos(2\pi n x) dx = \frac{\sin(2\pi n x)}{2\pi n} - \left[ \frac{x^2 \sin(2\pi n x)}{2\pi n} + \frac{x \cos(2\pi n x)}{2\pi^2 n^2} - \frac{\sin(2\pi n x)}{2\pi^3 n^3} \right] $$ $$ = \frac{\sin(2\pi n x)}{2\pi n} - \frac{x^2 \sin(2\pi n x)}{2\pi n} - \frac{x \cos(2\pi n x)}{2\pi^2 n^2} + \frac{\sin(2\pi n x)}{2\pi^3 n^3} $$
在 $0$ 到 $1/2$ 上计算定积分： 在 $x=1/2$ 时，$\sin(2\pi n \cdot 1/2) = \sin(\pi n)=0$，$\cos(\pi n)=(-1)^n$ 在 $x=0$ 时，$\sin0=0$，$\cos0=1$，但 $x=0$ 项 $x\cos$ 为零。
所以： $$ \int_0^{1/2} (1-x^2)\cos(2\pi n x) dx = 0 - 0 - \frac{(1/2)(-1)^n}{2\pi^2 n^2} + 0 - (0 - 0 - 0 + 0) = -\frac{(-1)^n}{4\pi^2 n^2} $$
因此： $$ a_n = 4 \left( -\frac{(-1)^n}{4\pi^2 n^2} \right) = -\frac{(-1)^n}{\pi^2 n^2} $$
所以傅里叶级数为： $$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(2\pi n x) = \frac{11}{12} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\pi^2 n^2} \cos(2\pi n x) $$
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### （2） $f(x)=\begin{cases}2x+1,& -3\le x<0\\ 1,& 0\le x<3\end{cases}$，周期 $T=6$，$l=3$。
计算 $a_0$： $$ a_0 = \frac{1}{3} \int_{-3}^{3} f(x) dx = \frac13 \left( \int_{-3}^{0} (2x+1) dx + \int_{0}^{3} 1\, dx \right) $$ $$ \int_{-3}^{0} (2x+1) dx = [x^2 + x]_{-3}^{0} = 0 - (9 - 3) = -6 $$ $$ \int_{0}^{3} 1\, dx = 3 $$ 所以 $a_0 = \frac13(-6+3) = -1$。
计算 $a_n$： $$ a_n = \frac13 \int_{-3}^{3} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) dx = \frac13 \left( \int_{-3}^{0} (2x+1)\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) dx + \int_{0}^{3} \cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) dx \right) $$ 第二项：$\int_0^3 \cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) dx = \frac{3}{n\pi} \sin(n\pi) = 0$。
第一项：令 $k = \frac{n\pi}{3}$，则 $$ I = \int_{-3}^{0} (2x+1)\cos(kx) dx $$ 分部积分：设 $u=2x+1$，$dv=\cos(kx)dx$，则 $du=2dx$，$v=\frac{\sin(kx)}{k}$ $$ I = \left[ (2x+1)\frac{\sin(kx)}{k} \right]_{-3}^{0} - \int_{-3}^{0} \frac{2\sin(kx)}{k} dx $$ 在 $x=0$ 处 $\sin0=0$，在 $x=-3$ 处 $\sin(-3k)=\sin(-n\pi)=0$，所以第一项为零。 于是： $$ I = -\frac{2}{k} \int_{-3}^{0} \sin(kx) dx = -\frac{2}{k} \left[ -\frac{\cos(kx)}{k} \right]_{-3}^{0} = \frac{2}{k^2} \left( \cos0 - \cos(-3k) \right) = \frac{2}{k^2} (1 - \cos(n\pi)) $$ 因为 $\cos(n\pi)=(-1)^n$，所以 $1-(-1)^n$ 当 $