第8章 · 第8-4-1题

[AI解答]

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**习题8-4 第1题解答**

周期为 $2\pi$ 的函数傅里叶级数展开式为： $$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) $$ 其中 $$ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx, $$ $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx, $$ $$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx. $$

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### （1）$f(x)=3x^2+1,\quad -\pi \le x < \pi$

**计算 $a_0$**： $$ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (3x^2+1) \, dx = \frac{1}{\pi} \left[ x^3 + x \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{\pi} \left( (\pi^3+\pi) - (-\pi^3-\pi) \right) = \frac{1}{\pi} (2\pi^3 + 2\pi) = 2\pi^2 + 2. $$

**计算 $a_n$**（$n\ge 1$）： 由于 $3x^2+1$ 是偶函数，$\cos(nx)$ 是偶函数，乘积为偶函数，故 $$ a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (3x^2+1) \cos(nx) \, dx. $$ 分部积分： 先计算 $\int x^2 \cos(nx) dx$： 令 $u=x^2, dv=\cos(nx)dx$，得 $du=2x dx, v=\frac{\sin(nx)}{n}$， $$ \int x^2 \cos(nx) dx = \frac{x^2 \sin(nx)}{n} - \frac{2}{n} \int x \sin(nx) dx. $$ 再对 $\int x \sin(nx) dx$ 分部积分： 令 $u=x, dv=\sin(nx)dx$，得 $du=dx, v=-\frac{\cos(nx)}{n}$， $$ \int x \sin(nx) dx = -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{1}{n} \int \cos(nx) dx = -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}. $$ 因此 $$ \int x^2 \cos(nx) dx = \frac{x^2 \sin(nx)}{n} - \frac{2}{n} \left( -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2} \right) = \frac{x^2 \sin(nx)}{n} + \frac{2x \cos(nx)}{n^2} - \frac{2\sin(nx)}{n^3}. $$ 另外 $\int \cos(nx) dx = \frac{\sin(nx)}{n}$。

于是 $$ \int_{0}^{\pi} (3x^2+1) \cos(nx) dx = 3\left[ \frac{x^2 \sin(nx)}{n} + \frac{2x \cos(nx)}{n^2} - \frac{2\sin(nx)}{n^3} \right]_{0}^{\pi} + \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi}. $$ 在 $x=\pi$ 处，$\sin(n\pi)=0$，$\cos(n\pi)=(-1)^n$；在 $x=0$ 处各项均为0，因此 $$ = 3\left( 0 + \frac{2\pi (-1)^n}{n^2} - 0 \right) + 0 = \frac{6\pi (-1)^n}{n^2}. $$ 所以 $$ a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{6\pi (-1)^n}{n^2} = \frac{12 (-1)^n}{n^2}. $$

**计算 $b_n$**： 由于 $3x^2+1$ 是偶函数，$\sin(nx)$ 是奇函数，乘积为奇函数，在对称区间积分为0，故 $$ b_n = 0. $$

**傅里叶级数**： $$ f(x) = \pi^2 + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{12 (-1)^n}{n^2} \cos(nx). $$

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### （2）$f(x)=e^{2x},\quad -\pi \le x < \pi$

**计算 $a_0$**： $$ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{2x} dx = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{2\pi} (e^{2\pi} - e^{-2\pi}) = \frac{\sinh(2\pi)}{\pi}. $$

**计算 $a_n$**： $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{2x} \cos(nx) dx. $$ 利用公式 $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}(a\cos(bx)+b\sin(bx))}{a^2+b^2}$，这里 $a=2, b=n$： $$ \int e^{2x} \cos(nx) dx = \frac{e^{2x}(2\cos(nx)+n\sin(nx))}{4+n^2}. $$ 代入上下限： $$ a_n = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{4+n^2} \left[ e^{2x}(2\cos(nx)+n\sin(nx)) \right]_{-\pi}^{\pi}. $$ 在 $x=\pi$：$\cos(n\pi)=(-1)^n,\sin(n\pi)=0$，得 $e^{2\pi} \cdot 2(-1)^n$； 在 $x=-\pi$：$\cos(-n\pi)=(-1)^n,\sin(-n\pi)=0$，得 $e^{-2\pi} \cdot 2(-1)^n$。 因此 $$ a_n = \frac{1}{\pi(4+n^2)} \cdot 2(-1)^n (e^{2\pi} - e^{-2\pi}) = \frac{4(-1)^n \sinh(2\pi)}{\pi(4+n^2)}. $$

**计算 $b_n$**： $$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{2x} \sin(nx) dx. $$ 利用公式 $\int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax}(a\sin(bx)-b\cos(bx))}{a^2+b^2}$： $$ \int e^{2x} \sin(nx) dx = \frac{e^{2x}(2\sin(nx)-n\cos(nx))}{4+n^2}. $$ 代入上下限： 在 $x=\pi$：$\sin(n\pi)=0,\cos(n\pi)=(-1)^n$，得 $e^{2\pi}(-n(-1)^n) = -n(-1)^n e^{2\pi}$； 在 $x=-\pi$：$\sin(-n\pi)=0,\cos(-n\pi)=(-1)^n$，得 $e^{-2\pi}(-n(-1)^n) = -n(-1)^n e^{-2\pi}$。 相减： $$ \left[ \cdots \right]_{-\pi}^{\pi} = -n(-1)^n (e^{2\pi} - e^{-2\pi}) = -n(-1)^n \cdot 2\sinh(2\pi). $$ 因此 $$ b_n = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{-2n(-1)^n \sinh(2\pi)}{4+n^2} = -\frac{2n(-1)^n \sinh(2\pi)}{\pi(4+n^2)}. $$

**傅里叶级数**： $$ f(x) = \frac{\sinh(2\pi)}{2\pi} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n \sinh(2\pi)}{\pi(4+n^2)} \left( 2\cos(nx) - n\sin(nx) \right). $$

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### （3）$f(x)=2\sin\frac{x}{3},\quad -\pi \le x < \pi$

函数为奇函数，故 $a_0=0