📝 题目
3．用比值判别法判定下列级数的收敛性。 （1）$\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{3}{2 \cdot 2^{2}}+\frac{5}{3 \cdot 2^{3}}+\frac{7}{4 \cdot 2^{4}}+\cdots$ ； （2）$\frac{2}{1 \cdot 3}+\frac{2^{2}}{2 \cdot 4}+\frac{2^{3}}{3 \cdot 5}+\frac{2^{4}}{4 \cdot 6}+\cdots$ ； （3）$\frac{1!}{1}+\frac{2!}{2^{2}}+\frac{3!}{2^{3}}+\frac{4!}{2^{4}}+\cdots$ ； （4） $\sin \frac{1}{2}+2 \sin \frac{1}{2^{2}}+3 \sin \frac{1}{2^{3}}+4 \sin \frac{1}{2^{4}}+\cdots$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n \cdot 2^{n}}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n \tan \frac{\pi}{2^{n+1}}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n-1)!!}{3^{n} \cdot n!}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} 2^{n-1} \tan \frac{\pi}{2 n}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们使用比值判别法（达朗贝尔判别法）判断级数的收敛性。 比值判别法：对于正项级数 $\sum u_n$，若 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho $$ 则当 $\rho < 1$ 时级数收敛，$\rho > 1$ 时发散，$\rho = 1$ 时失效。
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### （1） 级数通项： $$ u_n = \frac{2n-1}{n \cdot 2^n} $$ 计算比值： $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{2n+1}{(n+1)2^{n+1}}}{\frac{2n-1}{n 2^n}} = \frac{2n+1}{n+1} \cdot \frac{n}{2n-1} \cdot \frac{1}{2} $$ 取极限： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac12 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{2n-1} \cdot \frac{n}{n+1} = \frac12 \cdot 1 \cdot 1 = \frac12 < 1 $$ 所以级数收敛。
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### （2） 通项： $$ u_n = \frac{2^n}{n(n+2)} $$ 比值： $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)(n+3)} \cdot \frac{n(n+2)}{2^n} = 2 \cdot \frac{n(n+2)}{(n+1)(n+3)} $$ 取极限： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = 2 \cdot 1 = 2 > 1 $$ 所以级数发散。
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### （3） 通项： $$ u_n = \frac{n!}{2^n} $$ 比值： $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \frac{n+1}{2} $$ 极限： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2} = \infty > 1 $$ 所以级数发散。
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### （4） 通项： $$ u_n = n \sin\frac{1}{2^n} $$ 当 $n \to \infty$，$\sin\frac{1}{2^n} \sim \frac{1}{2^n}$，因此 $$ u_n \sim \frac{n}{2^n} $$ 比值： $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} \sim \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n} \to \frac12 < 1 $$ 所以原级数收敛。
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### （5） 通项： $$ u_n = \frac{3^n}{n \cdot 2^n} = \frac{(3/2)^n}{n} $$ 比值： $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(3/2)^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{(3/2)^n} = \frac{3}{2} \cdot \frac{n}{n+1} $$ 极限： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{3}{2} \cdot \frac{n}{n+1} = \frac{3}{2} > 1 $$ 所以级数发散。
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### （6） 通项： $$ u_n = n \tan\frac{\pi}{2^{n+1}} $$ 当 $n \to \infty$，$\tan\frac{\pi}{2^{n+1}} \sim \frac{\pi}{2^{n+1}}$，所以 $$ u_n \sim \frac{n\pi}{2^{n+1}} $$ 比值： $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} \sim \frac{(n+1)\pi/2^{n+2}}{n\pi/2^{n+1}} = \frac{n+1}{2n} \to \frac12 < 1 $$ 所以级数收敛。
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### （7） 通项： $$ u_n = \frac{(2n-1)!!}{3^n \cdot n!} $$ 注意 $(2n-1)!! = \frac{(2n)!}{2^n n!}$，所以 $$ u_n = \frac{(2n)!}{2^n n! \cdot 3^n \cdot n!} = \frac{(2n)!}{(6)^n (n!)^2} $$ 比值： $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(2n+2)!}{6^{n+1}[(n+1)!]^2} \cdot \frac{6^n (n!)^2}{(2n)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{6 (n+1)^2} = \frac{4n^2+6n+2}{6(n^2+2n+1)} $$ 极限： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2+6n+2}{6n^2+12n+6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} < 1 $$ 所以级数收敛。
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### （8） 通项： $$ u_n = 2^{n-1} \tan\frac{\pi}{2n} $$ 当 $n \to \infty$，$\tan\frac{\pi}{2n} \sim \frac{\pi}{2n}$，所以 $$ u_n \sim 2^{n-1} \cdot \frac{\pi}{2n} = \frac{\pi 2^{n-2}}{n} $$ 比值： $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} \sim \frac{\pi 2^{n-1}/(n+1)}{\pi 2^{n-2}/n} = 2 \cdot \frac{n}{n+1} \to 2 > 1 $$ 所以级数发散。
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**难度评级**：★★☆☆☆