📝 题目
4．用根值判别法判定下列级数的收敛性． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{[\ln (n+1)]^{n}}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3 n+1}\right)^{2 n}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{2^{n}}{\sqrt{n^{n}}}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}}{3^{n}}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b}{a_{n}}\right)^{n}, a_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty), a_{n}, b, a \in \mathbf{R}^{+}$．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**根值判别法**：对于正项级数 $\sum u_n$，令 $\rho = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n}$，若 $\rho < 1$ 则收敛，$\rho > 1$ 则发散，$\rho = 1$ 则失效。
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### （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}$
计算： $$ \sqrt[n]{u_n} = \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2 + \frac{1}{n}} $$ 取极限： $$ \rho = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{2} < 1 $$ 故级数收敛。
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### （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{[\ln (n+1)]^{n}}$
计算： $$ \sqrt[n]{u_n} = \frac{1}{\ln(n+1)} $$ 取极限： $$ \rho = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\ln(n+1)} = 0 < 1 $$ 故级数收敛。
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### （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3 n+1}\right)^{2 n}$
计算： $$ \sqrt[n]{u_n} = \left(\frac{n}{3n+1}\right)^{2} = \left(\frac{1}{3 + \frac{1}{n}}\right)^{2} $$ 取极限： $$ \rho = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{3 + \frac{1}{n}}\right)^{2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9} < 1 $$ 故级数收敛。
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### （4）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{2^{n}}{\sqrt{n^{n}}}$
先改写： $$ u_n = \frac{2^n}{n^{n/2}} = \left(\frac{2}{\sqrt{n}}\right)^{n} $$ 则： $$ \sqrt[n]{u_n} = \frac{2}{\sqrt{n}} $$ 取极限： $$ \rho = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{\sqrt{n}} = 0 < 1 $$ 故级数收敛。
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### （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}}{3^{n}}$
计算： $$ \sqrt[n]{u_n} = \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{3} $$ 已知 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = e}$，所以： $$ \rho = \frac{e}{3} \approx 0.906 < 1 $$ 故级数收敛。
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### （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b}{a_{n}}\right)^{n}, a_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty), a_{n}, b, a \in \mathbf{R}^{+}}$
计算： $$ \sqrt[n]{u_n} = \frac{b}{a_n} $$ 取极限： $$ \rho = \lim_{n\to\infty} \frac{b}{a_n} = \frac{b}{a} $$ 由根值判别法： - 若 $\frac{b}{a} < 1$，即 $b < a$，则级数收敛； - 若 $\frac{b}{a} > 1$，即 $b > a$，则级数发散； - 若 $\frac{b}{a} = 1$，即 $b = a$，则判别法失效，需另作判断。
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**难度评级**：★★☆☆☆ （均为直接应用根值判别法，计算简单，仅第(6)题需讨论参数）