📝 题目
5．判定下列级数的玫散性． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(3 n+2)\left(n^{2}+1\right)}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3 n+1}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n(n+2)}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sqrt{\frac{n+1}{n}}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \ln \frac{n^{2}-1}{n^{2}}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ^{2} \frac{n \pi}{2}}{2^{n}}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$ ； （9）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n a+b}(a\gt 0, b\gt 0)$ ； （10）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin ^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{b}{n}\right)$ ； （11）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n!}$ ； （12）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{-\frac{n^{2}+1}{n+1}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下逐题判定级数的敛散性，并给出简要步骤。
---
（1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(3 n+2)\left(n^{2}+1\right)}$
比较判别法： 当 $n\to\infty$ 时， $$ \frac{n}{(3n+2)(n^2+1)} \sim \frac{n}{3n\cdot n^2} = \frac{1}{3n^2} $$ 而 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛（$p=2>1$），故原级数收敛。
---
（2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3 n+1}$
通项极限： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{3n+1} = \frac{1}{3} \neq 0 $$ 由级数收敛的必要条件，级数发散。
---
（3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n(n+2)}$
化简： $$ \frac{n+1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n+2}\right) $$ 与调和级数 $\displaystyle{\sum}\frac{1}{n}$ 比较，发散。
---
（4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sqrt{\frac{n+1}{n}}$
通项极限： $$ \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{n+1}{n}} = 1 \neq 0 $$ 故级数发散。
---
（5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}$
用比值判别法： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!/5^{n+1}}{n!/5^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{5} = \infty > 1 $$ 故级数发散。
---
（6）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \ln \frac{n^{2}-1}{n^{2}}$
化简： $$ \ln\frac{n^2-1}{n^2} = \ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right) \sim -\frac{1}{n^2} $$ 而 $\displaystyle{\sum}\frac{1}{n^2}$ 收敛，故原级数收敛。
---
（7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ^{2} \frac{n \pi}{2}}{2^{n}}$
注意到 $\sin^2\frac{n\pi}{2}$ 取值为 $0$ 或 $1$，故 $$ 0 \le \frac{\sin^2\frac{n\pi}{2}}{2^n} \le \frac{1}{2^n} $$ 而 $\displaystyle{\sum}\frac{1}{2^n}$ 收敛，由比较判别法知原级数收敛。
---
（8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$
由比值判别法： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{1/(n+1)!}{1/n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0 < 1 $$ 故级数收敛（且和为 $e-1$）。
---
（9）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n a+b}\quad (a>0,b>0)$
通项 $\sim \frac{1}{a n}$，与调和级数同阶，故发散。
---
（10）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin ^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{b}{n}\right)$
当 $n\to\infty$ 时， $$ \sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{b}{n}\right) \to \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1 $$ 故存在 $0 --- （11）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n!}$ 由斯特林公式：$\ln(n!) \sim n\ln n - n$，故 $$ \frac{\ln(n!)}{n!} \sim \frac{n\ln n}{n!} $$ 用比值判别法： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)\ln(n+1)/(n+1)!}{n\ln n / n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)\ln(n+1)}{(n+1)n\ln n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n+1)}{n\ln n} = 0 $$ 故级数收敛。 --- （12）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{-\frac{n^{2}+1}{n+1}}$ 化简指数： $$ \frac{n^2+1}{n+1} = n-1+\frac{2}{n+1} $$ 故 $$ \mathrm{e}^{-\frac{n^2+1}{n+1}} = \mathrm{e}^{-n+1-\frac{2}{n+1}} \le e \cdot e^{-n} $$ 而 $\displaystyle{\sum} e^{-n}$ 收敛，故原级数收敛。 --- 难度评级：★★☆☆☆ （多数题目只需基本判别法，但部分需技巧如斯特林公式，整体中等偏易）