📝 题目
6．判定下列级数的敛散性，若级数收敛，判断是绝对收敛还是条件收敛． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{3^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n-1)}{n}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n}{10 n+1}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{2 n^{3}+4}}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}} \sin \frac{\pi}{n}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n}$ ； （9）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ ； （10）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(1-\cos \frac{\pi}{n^{2}}\right)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们逐小题判定敛散性，并判断绝对收敛或条件收敛。
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### （1） $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{2}{3}\right)^{n} $$ 这是交错级数，通项绝对值 $\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$ 单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知收敛。 考虑绝对值级数 $\sum \left(\frac{2}{3}\right)^{n}$ 是公比 $r=\frac{2}{3}<1$ 的等比级数，收敛。 故原级数绝对收敛。
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### （2） $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}} $$ 绝对值级数 $\sum \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ 与 $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ 同敛散，发散（p=1/2<1）。 交错项 $\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ 递减趋于0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛。 故条件收敛。
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### （3） $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{3^{n}} $$ 绝对值级数 $\sum \frac{n}{3^{n}}$，用比值法： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)/3^{n+1}}{n/3^{n}} = \frac{1}{3}<1 $$ 故绝对收敛。
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### （4） $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n-1)}{n} $$ 通项绝对值 $\frac{n-1}{n} \to 1 \neq 0$，通项不趋于0，级数发散。
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### （5） $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n}{10 n+1} $$ 通项绝对值 $\frac{n}{10n+1} \to \frac{1}{10} \neq 0$，通项不趋于0，级数发散。
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### （6） $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{2 n^{3}+4}} $$ 绝对值级数 $\sum \frac{1}{\sqrt{2n^{3}+4}} \sim \sum \frac{1}{n^{3/2}}$，p=3/2>1，收敛。 故绝对收敛。
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### （7） $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}} \sin \frac{\pi}{n} $$ 绝对值 $\frac{|\sin(\pi/n)|}{3^{n}} \le \frac{1}{3^{n}}$，而 $\sum \frac{1}{3^{n}}$ 收敛，由比较判别法知绝对收敛。
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### （8） $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n} $$ 绝对值级数 $\sum \frac{\ln n}{n}$，与 $\sum \frac{1}{n}$ 比较：$\frac{\ln n}{n} > \frac{1}{n}$ 对 $n\ge3$，故发散。 交错项 $\frac{\ln n}{n}$ 当 $n\ge3$ 时递减趋于0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛。 故条件收敛。
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### （9） $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) $$ 先化简： $$ \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \sim \frac{1}{2\sqrt{n}} $$ 绝对值级数 $\sum \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ 发散（与 $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ 同敛散）。 交错项单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛。 故条件收敛。
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### （10） $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(1-\cos \frac{\pi}{n^{2}}\right) $$ 利用 $1-\cos x \sim \frac{x^{2}}{2}$，当 $x\to0$，得： $$ 1-\cos\frac{\pi}{n^{2}} \sim \frac{\pi^{2}}{2n^{4}} $$ 绝对值级数 $\sum \frac{\pi^{2}}{2n^{4}}$ 收敛（p=4>1）。 故绝对收敛。
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**最终答案汇总：**
| 题号 | 敛散性 | 绝对/条件收敛 | |------|--------|----------------| | (1) | 收敛 | 绝对收敛 | | (2) | 收敛 | 条件收敛 | | (3) | 收敛 | 绝对收敛 | | (4) | 发散 | — | | (5) | 发散 | — | | (6) | 收敛 | 绝对收敛 | | (7) | 收敛 | 绝对收敛 | | (8) | 收敛 | 条件收敛 | | (9) | 收敛 | 条件收敛 | | (10) | 收敛 | 绝对收敛 |
难度：★★☆☆☆