📝 题目
7．设 $a_{n} \leqslant c_{n} \leqslant b_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛，证明级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 收敛．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 已知对于所有正整数 $n$，有 $$ a_n \le c_n \le b_n $$ 且级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ 与 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ 均收敛。
考虑构造新数列 $$ 0 \le c_n - a_n \le b_n - a_n $$ 由于 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ 与 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ 均收敛，它们的差级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} (b_n - a_n) $$ 也收敛（收敛级数的线性组合仍收敛）。
又因为 $0 \le c_n - a_n \le b_n - a_n$，由正项级数的比较判别法可知 $$ \sum_{n=1}^{\infty} (c_n - a_n) $$ 收敛。
最后，注意到 $$ c_n = a_n + (c_n - a_n) $$ 而 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ 与 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} (c_n - a_n)}$ 均收敛，故它们的和级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} c_n $$ 也收敛。证毕。
**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考察比较判别法与收敛级数的线性性质，思路直接，计算量小。）