📝 题目
8．如果 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 及 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}$ 都收敛，证明：$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right|$ 收敛。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知两个级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 \quad\text{和}\quad \sum_{n=1}^{\infty} b_n^2 $$ 都收敛。要证明 $$ \sum_{n=1}^{\infty} |a_n b_n| $$ 也收敛。
**证明步骤：**
1. 利用基本不等式：对任意实数 $a_n, b_n$，有 $$ |a_n b_n| \le \frac{a_n^2 + b_n^2}{2}. $$ 这是因为由 $(|a_n|-|b_n|)^2 \ge 0$ 展开即得 $$ a_n^2 + b_n^2 - 2|a_n b_n| \ge 0 \quad\Rightarrow\quad |a_n b_n| \le \frac{a_n^2 + b_n^2}{2}. $$
2. 对 $n$ 从 1 到 $N$ 求和： $$ \sum_{n=1}^{N} |a_n b_n| \le \sum_{n=1}^{N} \frac{a_n^2 + b_n^2}{2} = \frac12 \sum_{n=1}^{N} a_n^2 + \frac12 \sum_{n=1}^{N} b_n^2. $$
3. 由已知条件，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 和 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n^2$ 收敛，因此它们的部分和数列有上界。设 $$ S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2,\quad T = \sum_{n=1}^{\infty} b_n^2, $$ 则对任意 $N$，有 $$ \sum_{n=1}^{N} |a_n b_n| \le \frac{S+T}{2}. $$ 即部分和数列 $\displaystyle\sum_{n=1}^{N} |a_n b_n|$ 单调递增且有上界，故必收敛。
4. 因此，级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |a_n b_n|$ 收敛。
证毕。
难度：★☆☆☆☆