📝 题目
7．设在区间 $[-\pi, \pi]$ 上 $f(x)$ 为可积的偶函数，且 $f\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ ，证明在 $f(x)$ 的展开式中系数 $a_{2 n}=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题目**： 设在区间 $[-\pi, \pi]$ 上 $f(x)$ 为可积的偶函数，且满足 $$ f\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = -f\left(\frac{\pi}{2}-x\right), $$ 证明在 $f(x)$ 的傅里叶展开式中系数 $a_{2n}=0$。
**证明**： 由于 $f(x)$ 是偶函数，其傅里叶级数只含余弦项，系数为 $$ a_n = \frac{2}{\pi} \displaystyle{\int_{0}^{\pi}} f(x) \cos(nx) \, dx. $$
我们要证明当 $n$ 为偶数时，$a_n = 0$。 令 $n = 2k$，考虑 $$ a_{2k} = \frac{2}{\pi} \displaystyle{\int_{0}^{\pi}} f(x) \cos(2k x) \, dx. $$
将积分区间 $[0,\pi]$ 分成两段：$[0,\frac{\pi}{2}]$ 和 $[\frac{\pi}{2},\pi]$，即 $$ a_{2k} = \frac{2}{\pi} \left( \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f(x) \cos(2k x) \, dx + \displaystyle{\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}} f(x) \cos(2k x) \, dx \right). $$
对第二个积分作变量代换：令 $x = \frac{\pi}{2} + t$，则当 $x$ 从 $\frac{\pi}{2}$ 到 $\pi$ 时，$t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$，且 $dx = dt$。于是 $$ \displaystyle{\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}} f(x) \cos(2k x) \, dx = \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f\left(\frac{\pi}{2}+t\right) \cos\left(2k\left(\frac{\pi}{2}+t\right)\right) dt. $$
利用三角恒等式： $$ \cos\left(2k\left(\frac{\pi}{2}+t\right)\right) = \cos(k\pi + 2k t) = (-1)^k \cos(2k t). $$
而由已知条件： $$ f\left(\frac{\pi}{2}+t\right) = -f\left(\frac{\pi}{2}-t\right). $$
因此第二个积分变为 $$ \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} \left[-f\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\right] \cdot (-1)^k \cos(2k t) \, dt = (-1)^{k+1} \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f\left(\frac{\pi}{2}-t\right) \cos(2k t) \, dt. $$
再对上述积分作变量代换 $u = \frac{\pi}{2} - t$，则 $t = \frac{\pi}{2} - u$，$dt = -du$，当 $t=0$ 时 $u=\frac{\pi}{2}$，当 $t=\frac{\pi}{2}$ 时 $u=0$，于是 $$ \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f\left(\frac{\pi}{2}-t\right) \cos(2k t) \, dt = \displaystyle{\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}} f(u) \cos\left(2k\left(\frac{\pi}{2}-u\right)\right) (-du) = \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f(u) \cos(k\pi - 2k u) \, du. $$
又因为 $$ \cos(k\pi - 2k u) = \cos(k\pi)\cos(2k u) + \sin(k\pi)\sin(2k u) = (-1)^k \cos(2k u), $$
所以 $$ \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f\left(\frac{\pi}{2}-t\right) \cos(2k t) \, dt = (-1)^k \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f(u) \cos(2k u) \, du. $$
代回第二个积分表达式： $$ \displaystyle{\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}} f(x) \cos(2k x) \, dx = (-1)^{k+1} \cdot (-1)^k \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f(u) \cos(2k u) \, du = -\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f(u) \cos(2k u) \, du. $$
因此， $$ a_{2k} = \frac{2}{\pi} \left( \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f(x) \cos(2k x) \, dx - \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f(x) \cos(2k x) \, dx \right) = 0. $$
这就证明了所有偶数下标余弦系数 $a_{2n}=0$。
**难度评级**：★★★☆☆ （需要分段积分、变量代换及三角恒等变换，思路清晰但步骤较多）