📝 题目
8．怎样才能将在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内可积的函数 $f(x)$ 延拓到 $[-\pi, \pi)$ ，使其傅里叶展开式为 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} A_{n} \sin (2 n-1) x$ ？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们已知在区间 $[0, \frac{\pi}{2})$ 上有一个可积函数 $f(x)$，希望将它延拓到 $[-\pi, \pi)$，使得其傅里叶级数展开形式为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(2n-1)x $$ 即展开式中只含有奇次正弦项，没有余弦项，也没有偶次正弦项。
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**第一步：分析傅里叶系数的条件**
傅里叶级数在 $[-\pi, \pi)$ 上的标准形式为 $$ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) $$ 其中 $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx $$
题目要求展开式只有 $\sin(2n-1)x$，这意味着： - 所有 $a_n = 0$（包括 $a_0 = 0$） - 所有偶次正弦项系数 $b_{2k} = 0$ - 奇次正弦项系数 $b_{2k-1} = A_k$ 可以非零
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**第二步：由系数为零的条件反推延拓方式**
1. 要使 $a_n = 0$ 对所有 $n$ 成立，即 $$ \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx = 0 $$ 这要求 $f(x)$ 是 $[-\pi,\pi]$ 上的奇函数（因为奇函数与偶函数乘积的积分为零）。 所以延拓应使 $f(x)$ 为奇函数： $$ f(-x) = -f(x) $$
2. 要使所有偶次正弦项系数为零，即 $$ b_{2k} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(2k x) dx = 0 $$ 结合奇函数性质，这等价于在 $[0,\pi]$ 上满足某种对称性。 考虑奇延拓后再施加关于 $x = \frac{\pi}{2}$ 的对称性： 若令 $$ f(\pi - x) = f(x) $$ 则对于 $\sin(2k x)$，由于 $$ \sin(2k(\pi - x)) = -\sin(2k x) $$ 会导致在 $[0,\pi]$ 上的积分正负抵消，从而 $b_{2k}=0$。
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**第三步：综合延拓规则**
已知原始定义域是 $[0, \frac{\pi}{2})$，我们按以下两步延拓到 $[-\pi, \pi)$：
1. **奇延拓**：先延拓到 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，令 $$ f(-x) = -f(x), \quad x \in [0, \frac{\pi}{2}) $$
2. **关于 $x = \frac{\pi}{2}$ 的对称延拓**：将 $[0, \frac{\pi}{2})$ 上的函数对称反射到 $[\frac{\pi}{2}, \pi)$： $$ f(x) = f(\pi - x), \quad x \in [\frac{\pi}{2}, \pi) $$ 再通过奇函数性质得到负半轴对应部分。
这样得到的函数在 $[-\pi, \pi)$ 上满足： - 奇函数：$f(-x) = -f(x)$ - 关于 $\frac{\pi}{2}$ 对称：$f(\pi - x) = f(x)$
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**第四步：验证傅里叶级数形式**
由奇函数得 $a_n = 0$。 由对称性可得 $$ b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin nx \, dx $$ 将积分拆成 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 和 $[\frac{\pi}{2}, \pi]$，利用 $f(x)=f(\pi-x)$ 和变量替换可证：当 $n$ 为偶数时，积分为零；当 $n$ 为奇数时，积分非零。 因此展开式只含 $\sin(2n-1)x$ 项。
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**最终答案**： 将 $f(x)$ 先作奇延拓，再关于 $x=\frac{\pi}{2}$ 作对称延拓，即 $$ \boxed{\text{先奇延拓：} f(-x)=-f(x);\quad \text{再对称延拓：} f(\pi-x)=f(x)} $$ 这样得到的函数在 $[-\pi,\pi)$ 上的傅里叶级数为 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(2n-1)x$。
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难度：★★★☆☆