📝 题目
9．已知 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的函数，$a_{n} 、 b_{n}$ 为其傅里叶系数，试将 $F(x)=\frac{1}{\pi} \displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} f(t) f(x+t) \mathrm{d} t$ 展开成傅里叶级数。 
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知 $ f(x) $ 是以 $ 2\pi $ 为周期的函数，其傅里叶系数为： $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(nt) \, dt, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(nt) \, dt. $$
定义函数： $$ F(x) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) f(x+t) \, dt. $$
我们的目标是将其展开为傅里叶级数。
**第一步：写出 $ f(x) $ 的傅里叶级数形式**
因为 $ f $ 以 $ 2\pi $ 为周期，可设： $$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \big( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big). $$
**第二步：将 $ f(x+t) $ 用傅里叶级数表示**
对固定的 $ x $，视 $ t $ 为变量，有： $$ f(x+t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \big( a_n \cos(n(x+t)) + b_n \sin(n(x+t)) \big). $$
利用三角恒等式： $$ \cos(n(x+t)) = \cos(nx)\cos(nt) - \sin(nx)\sin(nt), $$ $$ \sin(n(x+t)) = \sin(nx)\cos(nt) + \cos(nx)\sin(nt). $$
因此： $$ f(x+t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \Big[ (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) \cos(nt) + (-a_n \sin(nx) + b_n \cos(nx)) \sin(nt) \Big]. $$
**第三步：代入 $ F(x) $ 并交换积分与求和次序**
$$ F(x) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \left[ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \big( A_n(x) \cos(nt) + B_n(x) \sin(nt) \big) \right] dt, $$ 其中： $$ A_n(x) = a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx), $$ $$ B_n(x) = -a_n \sin(nx) + b_n \cos(nx). $$
交换积分与求和（假设满足一致收敛条件）： $$ F(x) = \frac{a_0}{2} \cdot \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \, dt + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ A_n(x) \cdot \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(nt) \, dt + B_n(x) \cdot \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(nt) \, dt \right]. $$
**第四步：利用傅里叶系数定义化简**
由定义： $$ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \, dt = a_0, $$ $$ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(nt) \, dt = a_n, $$ $$ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(nt) \, dt = b_n. $$
于是： $$ F(x) = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \big[ A_n(x) a_n + B_n(x) b_n \big]. $$
代入 $ A_n(x), B_n(x) $： $$ A_n(x) a_n + B_n(x) b_n = (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) a_n + (-a_n \sin(nx) + b_n \cos(nx)) b_n. $$
化简： $$ = a_n^2 \cos(nx) + a_n b_n \sin(nx) - a_n b_n \sin(nx) + b_n^2 \cos(nx) = (a_n^2 + b_n^2) \cos(nx). $$
**第五步：得到最终傅里叶级数展开**
因此： $$ F(x) = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) \cos(nx). $$
这就是 $ F(x) $ 的傅里叶级数展开，它只含有余弦项，且系数为 $ a_n^2 + b_n^2 $。
**难度评级**：★★★☆☆ （需要熟悉傅里叶级数展开、三角恒等式、交换积分次序，但步骤清晰，计算不复杂）