📝 题目
6．将函数 $f(x)=|\sin x|$ 在数轴上展开成傅里叶级数。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们首先明确，函数 $ f(x)=|\sin x| $ 是周期为 $\pi$ 的函数，因为 $$ |\sin(x+\pi)| = |-\sin x| = |\sin x| $$ 所以其最小正周期是 $\pi$。因此，我们可以在区间 $[-\pi/2, \pi/2]$ 或更方便的 $[0, \pi]$ 上展开成傅里叶级数，但注意周期是 $\pi$，因此基频为 $2\pi/T = 2$。
设周期 $T = \pi$，则傅里叶级数形式为 $$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(2nx) + b_n \sin(2nx) \right) $$ 因为 $f(x)$ 是偶函数（$|\sin(-x)| = |\sin x|$），所以 $b_n = 0$。
计算系数： $$ a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} |\sin x| \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = \frac{2}{\pi} \left[-\cos x\right]_{0}^{\pi} = \frac{2}{\pi}(1 - (-1)) = \frac{4}{\pi} $$
对于 $n \ge 1$： $$ a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} |\sin x| \cos(2nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x \cos(2nx) \, dx $$ 利用积化和差公式： $$ \sin x \cos(2nx) = \frac{1}{2} \left[ \sin((1+2n)x) + \sin((1-2n)x) \right] $$ 因此 $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \left[ \sin((2n+1)x) + \sin((1-2n)x) \right] dx $$ 注意 $\sin((1-2n)x) = -\sin((2n-1)x)$，所以 $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \left[ \sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x) \right] dx $$ 计算积分： $$ \int_{0}^{\pi} \sin(kx) dx = \left[ -\frac{\cos(kx)}{k} \right]_{0}^{\pi} = \frac{1 - \cos(k\pi)}{k} $$ 因此 $$ a_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{1 - \cos((2n+1)\pi)}{2n+1} - \frac{1 - \cos((2n-1)\pi)}{2n-1} \right) $$ 由于 $\cos((2n\pm 1)\pi) = -1$，所以 $$ 1 - (-1) = 2 $$ 于是 $$ a_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{2}{2n+1} - \frac{2}{2n-1} \right) = \frac{2}{\pi} \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n-1} \right) $$ 通分： $$ \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n-1} = \frac{(2n-1) - (2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{-2}{4n^2 - 1} $$ 所以 $$ a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{-2}{4n^2 - 1} = -\frac{4}{\pi(4n^2 - 1)} $$
因此，傅里叶级数为 $$ |\sin x| = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2nx)}{4n^2 - 1} $$ 这里 $\frac{a_0}{2} = \frac{2}{\pi}$。
该级数在整个实数轴上成立，因为 $|\sin x|$ 连续且分段光滑，傅里叶级数处处收敛到它本身。
难度评级：★★★☆☆ （需要处理偶函数性质、周期判断、积化和差及特殊三角函数值，计算稍复杂但思路清晰）