📝 题目
5．将 $f(x)=x^{2}$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 上展开成傅里叶级数，并求 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**第一步：确定傅里叶系数公式** 函数 $f(x)=x^2$ 定义在 $[0,2\pi]$ 上，周期延拓后周期为 $2\pi$。傅里叶级数形式为： $$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right), $$ 其中系数： $$ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \, dx, $$ $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \cos(nx) \, dx, $$ $$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \sin(nx) \, dx. $$
**第二步：计算 $a_0$** $$ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} x^2 dx = \frac{1}{\pi} \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{8\pi^3}{3} = \frac{8\pi^2}{3}. $$
**第三步：计算 $a_n$（$n\ge 1$）** 利用分部积分： $$ \begin{aligned} a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} x^2 \cos(nx) dx \\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x^2 \sin(nx)}{n} \bigg|_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} \frac{2x \sin(nx)}{n} dx \right] \\ &= -\frac{2}{n\pi} \int_{0}^{2\pi} x \sin(nx) dx. \end{aligned} $$ 再次分部积分： $$ \int_{0}^{2\pi} x \sin(nx) dx = \left[ -\frac{x \cos(nx)}{n} \right]_{0}^{2\pi} + \int_{0}^{2\pi} \frac{\cos(nx)}{n} dx = -\frac{2\pi \cos(2n\pi)}{n} + 0 = -\frac{2\pi}{n}. $$ 因此： $$ a_n = -\frac{2}{n\pi} \cdot \left( -\frac{2\pi}{n} \right) = \frac{4}{n^2}. $$
**第四步：计算 $b_n$** $$ \begin{aligned} b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} x^2 \sin(nx) dx \\ &= \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{x^2 \cos(nx)}{n} \bigg|_{0}^{2\pi} + \int_{0}^{2\pi} \frac{2x \cos(nx)}{n} dx \right] \\ &= \frac{1}{\pi} \left( -\frac{4\pi^2 \cos(2n\pi)}{n} + \frac{2}{n} \int_{0}^{2\pi} x \cos(nx) dx \right). \end{aligned} $$ 而 $$ \int_{0}^{2\pi} x \cos(nx) dx = \left[ \frac{x \sin(nx)}{n} \right]_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} \frac{\sin(nx)}{n} dx = 0. $$ 所以 $$ b_n = \frac{1}{\pi} \left( -\frac{4\pi^2}{n} \right) = -\frac{4\pi}{n}. $$
**第五步：写出傅里叶级数** $$ x^2 = \frac{4\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4}{n^2} \cos(nx) - \frac{4\pi}{n} \sin(nx) \right), \quad x \in (0,2\pi). $$ 在端点 $x=0,2\pi$ 处级数收敛到 $\frac{f(0^+)+f(2\pi^-)}{2} = \frac{0+4\pi^2}{2}=2\pi^2$，与函数值不同，但内部等式成立。
**第六步：求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$** 令 $x=0$，此时级数收敛到 $2\pi^2$（端点平均值），代入： $$ 2\pi^2 = \frac{4\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} \cdot 1 - 0, $$ 移项： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} = 2\pi^2 - \frac{4\pi^2}{3} = \frac{2\pi^2}{3}, $$ 所以 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}. $$
**第七步：求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$** 令 $x=\pi$，代入级数： $$ \pi^2 = \frac{4\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4}{n^2} \cos(n\pi) - \frac{4\pi}{n} \sin(n\pi) \right). $$ 由于 $\sin(n\pi)=0$，$\cos(n\pi)=(-1)^n$，得： $$ \pi^2 = \frac{4\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{n^2}. $$ 移项： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{n^2} = \pi^2 - \frac{4\pi^2}{3} = -\frac{\pi^2}{3}, $$ 所以 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} = -\frac{\pi^2}{12}. $$ 而所求为 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$。
**最终结果** $$ \boxed{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6},\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{12}}. $$
难度：★★★☆☆