📝 题目
4．将 $f(x)=\pi^{2}-x^{2}(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ 展开成傅里叶级数。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 将函数 $ f(x) = \pi^2 - x^2 $ 在区间 $[-\pi, \pi]$ 上展开为傅里叶级数。 由于 $ f(x) $ 是偶函数，故傅里叶级数中只含余弦项，即 $ b_n = 0 $。
首先计算常数项 $ a_0 $： $$ a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi^2 - x^2) \, dx = \frac{2}{\pi} \left[ \pi^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\pi} = \frac{2}{\pi} \left( \pi^3 - \frac{\pi^3}{3} \right) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2\pi^3}{3} = \frac{4\pi^2}{3}. $$
再计算余弦系数 $ a_n $（$ n \geq 1 $）： $$ a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi^2 - x^2) \cos(nx) \, dx. $$ 先计算积分： $$ \int_{0}^{\pi} \pi^2 \cos(nx) \, dx = \pi^2 \cdot \frac{\sin(nx)}{n} \Big|_{0}^{\pi} = 0. $$ 因此只需计算： $$ \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx. $$ 用分部积分法： 令 $ u = x^2 $，$ dv = \cos(nx) dx $，则 $ du = 2x dx $，$ v = \frac{\sin(nx)}{n} $， $$ \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) dx = \left[ x^2 \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} - \frac{2}{n} \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) dx. $$ 第一项代入上下限：$\sin(n\pi)=0$，故为0。 再计算： $$ \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) dx, $$ 令 $ u = x $，$ dv = \sin(nx) dx $，则 $ du = dx $，$ v = -\frac{\cos(nx)}{n} $， $$ \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) dx = \left[ -x \frac{\cos(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} + \frac{1}{n} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) dx. $$ 第一项： $$ -\frac{\pi \cos(n\pi)}{n} + 0 = -\frac{\pi (-1)^n}{n}. $$ 第二项： $$ \frac{1}{n} \cdot \frac{\sin(nx)}{n} \Big|_{0}^{\pi} = 0. $$ 所以： $$ \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) dx = -\frac{\pi (-1)^n}{n}. $$ 代回： $$ \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) dx = -\frac{2}{n} \left( -\frac{\pi (-1)^n}{n} \right) = \frac{2\pi (-1)^n}{n^2}. $$ 因此： $$ a_n = \frac{2}{\pi} \left( - \frac{2\pi (-1)^n}{n^2} \right) = -\frac{4 (-1)^n}{n^2}. $$
所以傅里叶级数为： $$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx) = \frac{2\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^{n+1}}{n^2} \cos(nx). $$
最终结果为： $$ \boxed{\pi^{2} - x^{2} = \frac{2\pi^{2}}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}} \cos(nx), \quad -\pi \leq x \leq \pi}. $$
难度：★★☆☆☆