📝 题目
1．选择题． （1）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ，则级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} u_{n}(\quad)$ 。 A．一定收敛 B．一定发散 C．一定条件收敛 D．可能收敛，也可能发散 （2）若常数项级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 发散，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)()$ 。 A．收敛 B．可能收敛 C．一定发散 D．通项的极限必为 0 （3）若级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a u_{n}(a \neq 0) ~(\quad)$ 。 A．一定发散 B．可能收敛也可能发散 C．$a\gt 0$ 时收敛，$a\lt 0$ 时发散 D．$|a|\lt 1$ 时收敛，$|a|\gt 1$ 时发散 （4）利用级数收敛时其一般项必趋于 0 的性质，可知下面一定发散的级数是（）。 A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi}{3^{n}}$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n 2^{n}}{3^{n}}$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{1}{n^{2}}$ D． $1-\frac{3}{2}+\frac{4}{3}-\cdots+(-1)^{n+1} \frac{n+1}{n}+\cdots$ （5）若级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则下列级数中收敛的是 ． A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+100\right)$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-100\right)$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} 100 u_{n}$ D．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{100}{u_{n+1}-u_{n}}$
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 若 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} u_n = 0}$，这是级数收敛的必要条件，但不是充分条件。例如调和级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}}$ 满足通项趋于 0 但发散，而 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}}$ 收敛。因此级数可能收敛也可能发散。 答案：D
**（2）** 已知 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} u_n}$ 收敛，$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} v_n}$ 发散。若 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} (u_n + v_n)}$ 收敛，则 $$ \sum_{n=1}^{\infty} v_n = \sum_{n=1}^{\infty} (u_n + v_n) - \sum_{n=1}^{\infty} u_n $$ 收敛，与已知矛盾，故该级数一定发散。 答案：C
**（3）** 若 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} u_n}$ 发散，且 $a \neq 0$，则 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a u_n}$ 也发散（因为乘以非零常数不改变收敛性）。 答案：A
**（4）** 检验各选项通项是否趋于 0： A：$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sin\frac{\pi}{3^n} = \sin 0 = 0}$，可能收敛。 B：$\displaystyle{\frac{n 2^n}{3^n} = n\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0}$，可能收敛。 C：$\displaystyle{\arctan\frac{1}{n^2} \to 0}$，可能收敛。 D：通项为 $\displaystyle{(-1)^{n+1} \frac{n+1}{n}}$，其绝对值 $\displaystyle{\frac{n+1}{n} \to 1 \neq 0}$，故级数一定发散。 答案：D
**（5）** 若 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} u_n}$ 收敛，则乘以常数 100 后仍收敛。而加减常数会使通项不趋于 0，故 A、B 发散；D 中分母可能为 0 或通项无界，无法保证收敛。 答案：C
难度：★☆☆☆☆