📝 题目
10．已知级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 的前 $n$ 项的部分和 $S_{n}=\frac{2 n}{n+1}, n=1,2, \cdots$ ． （1）求级数的一般项 $u_{n}$ ； （2）判断级数的收敛性。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
（1）求一般项 $u_n$
已知部分和 $S_n = \frac{2n}{n+1}$，则一般项由相邻部分和之差给出： $$ u_n = S_n - S_{n-1}, \quad n \ge 2 $$ 先计算： $$ S_n = \frac{2n}{n+1}, \quad S_{n-1} = \frac{2(n-1)}{n} $$ 于是 $$ u_n = \frac{2n}{n+1} - \frac{2(n-1)}{n} $$ 通分： $$ u_n = \frac{2n \cdot n - 2(n-1)(n+1)}{n(n+1)} = \frac{2n^2 - 2(n^2 - 1)}{n(n+1)} = \frac{2n^2 - 2n^2 + 2}{n(n+1)} = \frac{2}{n(n+1)} $$ 当 $n=1$ 时，$u_1 = S_1 = \frac{2}{2} = 1$，而公式 $\frac{2}{1\cdot 2}=1$ 也成立，因此统一为： $$ u_n = \frac{2}{n(n+1)}, \quad n=1,2,\dots $$
（2）判断级数的收敛性
由于部分和已知： $$ S_n = \frac{2n}{n+1} $$ 取极限： $$ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n+1} = 2 $$ 极限存在且有限，因此级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} u_n}$ 收敛，且和为 $2$。
难度评级：★★☆☆☆ （主要考查部分和与通项的关系，以及极限判断收敛性，计算简单，但需注意通项推导细节）