📝 题目
12．设 $u_{n} \neq 0(n=1,2, \cdots)$ 且 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{u_{n}}=1$ ，问级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_{n}}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$ 是否收敛？
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们已知条件： $$ u_n \neq 0,\quad \lim_{n\to\infty} \frac{n}{u_n} = 1 $$ 这意味着当 $n$ 很大时，有 $u_n \sim n$，即 $u_n$ 与 $n$ 同阶且不为零。
要判断级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \left( \frac{1}{u_n} + \frac{1}{u_{n+1}} \right) $$ 是否收敛，我们先写出它的部分和。
设部分和 $$ S_N = \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n+1} \left( \frac{1}{u_n} + \frac{1}{u_{n+1}} \right) $$
将和式展开： $$ S_N = \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n+1} \frac{1}{u_n} + \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n+1} \frac{1}{u_{n+1}} $$
对第二个和式进行指标变换，令 $m = n+1$，则当 $n=1$ 时 $m=2$，$n=N$ 时 $m=N+1$，且 $(-1)^{n+1} = (-1)^{m}$，因为 $n+1 = m$ 所以 $(-1)^{n+1}=(-1)^m$。于是： $$ \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n+1} \frac{1}{u_{n+1}} = \sum_{m=2}^{N+1} (-1)^{m} \frac{1}{u_m} $$
因此： $$ S_N = \frac{1}{u_1} + \sum_{n=2}^{N} (-1)^{n+1} \frac{1}{u_n} + \sum_{m=2}^{N} (-1)^{m} \frac{1}{u_m} + (-1)^{N+1} \frac{1}{u_{N+1}} $$
注意对于 $n=2$ 到 $N$，两项中 $(-1)^{n+1}$ 与 $(-1)^n$ 正好互为相反数，因此它们相加为零。于是： $$ S_N = \frac{1}{u_1} + (-1)^{N+1} \frac{1}{u_{N+1}} $$
所以原级数的部分和化简为： $$ S_N = \frac{1}{u_1} + (-1)^{N+1} \frac{1}{u_{N+1}} $$
现在考虑 $N\to\infty$ 时的情况。由条件 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \frac{n}{u_n} = 1}$，可得： $$ \frac{1}{u_{N+1}} \sim \frac{1}{N+1} \to 0 $$ 因此： $$ \lim_{N\to\infty} (-1)^{N+1} \frac{1}{u_{N+1}} = 0 $$ 于是： $$ \lim_{N\to\infty} S_N = \frac{1}{u_1} $$ 极限存在且有限，故原级数收敛。
结论：该级数收敛。
难度评级：★★☆☆☆