📝 题目
1．选择题． （1）级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n} n}$ 的收敛半径 $R=$ ． A． 1 B． 2 C．$\frac{1}{2}$ D．$\infty$ （2）级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{2+n} x^{n}$ 的收敛半径 $R=$ ． A． 1 B． 2 C．$\frac{1}{2}$ D．$\infty$ （3）级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(2 n-1)(2 n)}$ 的收敛域为 ． A．$[-1,1]$ B．$(-1,1)$ C．$[-1,1)$ D．$(-\infty,+\infty)$ （4）幂级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty}(x-3)^{n}$ 的收敛域是 ． A．$(-1,1)$ B．$(2,4)$ C．$[2,4]$ D．$(2,4]$
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 级数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n} n}}$ 注意当 $n=0$ 时，分母为 $0$，通常理解为从 $n=1$ 开始。 使用比值法求收敛半径： $$ a_n = \frac{1}{2^n n} $$ $$ R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{1/(2^n n)}{1/(2^{n+1}(n+1))} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}(n+1)}{2^n n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2(n+1)}{n} = 2 $$ 因此 $R=2$，选 **B**。
**（2）** 级数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{2+n} x^{n}}$ $$ a_n = \frac{2^n}{n+2} $$ $$ R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{2^n/(n+2)}{2^{n+1}/(n+3)} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+3}{2(n+2)} = \frac12 $$ 因此 $R=\frac12$，选 **C**。
**（3）** 级数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(2 n-1)(2 n)}}$ 当 $n=0$ 时分母为 $(-1)\cdot 0 = 0$，同样理解为从 $n=1$ 开始。 $$ a_n = \frac{1}{(2n-1)(2n)} $$ $$ R = \lim_{n\to\infty} \frac{(2n-1)(2n)}{(2n+1)(2n+2)} = 1 $$ 收敛半径为 $1$。 端点处： - 当 $x=1$：$\sum \frac{1}{(2n-1)(2n)}$ 与 $\frac{1}{n^2}$ 同阶，收敛。 - 当 $x=-1$：$\sum \frac{(-1)^n}{(2n-1)(2n)}$ 绝对收敛。 因此收敛域为 $[-1,1]$，选 **A**。
**（4）** 幂级数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}(x-3)^{n}}$ 这是几何级数，公比为 $x-3$，收敛条件 $|x-3|<1$，即 $2 **最终答案：** （1）B （2）C （3）A （4）B 难度：★☆☆☆☆