📝 题目
2．求下列幂级数的收敛半径与收敛域． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{n}}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{2^{n}}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3 n+1}}{(2 n-1) 2^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n 4^{n-1} x^{2 n}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n} x^{n}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+4^{n}\right] x^{n}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n}}{n^{2}}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{(2 n)!!}$ ； （9）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{2}+1} x^{n}$ ； （10）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n \cdot 3^{n}}$ ； （11）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$ ； （12）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们逐题求解幂级数的收敛半径与收敛域。
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### （1）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{n}}}$
用根值法： $$ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left|\frac{1}{n^n}\right|} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0 $$ 所以收敛半径 $R = +\infty$，收敛域为 $(-\infty, +\infty)$。
难度：★☆☆☆☆
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### （2）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{2^{n}}}$
令 $t = x^2$，则级数为： $$ \frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x^2)^n}{2^n} = \frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{x^2}{2}\right)^n $$ 这是几何级数，当 $|x^2/2|<1$ 即 $|x|<\sqrt{2}$ 时收敛，在端点： - $x=\pm\sqrt{2}$ 时，通项为 $\frac{(\pm\sqrt{2})^{2n-1}}{2^n} = \frac{(\pm1)^{2n-1}2^{n-1/2}}{2^n} = \frac{\pm1}{\sqrt{2}}$，不趋于0，发散。
所以收敛半径 $R=\sqrt{2}$，收敛域 $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$。
难度：★★☆☆☆
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### （3）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3n+1}}{(2n-1)2^n}}$
提出 $x$： $$ x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x^3)^n}{(2n-1)2^n} $$ 令 $t=x^3$，用比值法： $$ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{2n-1}{2n+1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$ 所以 $|t| < 2$ 即 $|x|^3 < 2 \Rightarrow |x| < \sqrt[3]{2}$。
端点： - $x=\sqrt[3]{2}$：级数为 $\sum \frac{2^{n+1/3}}{(2n-1)2^n} = \sqrt[3]{2}\sum \frac{1}{2n-1}$ 发散。 - $x=-\sqrt[3]{2}$：$\sum \frac{(-1)^n \sqrt[3]{2}}{2n-1}$ 交错且递减趋于0，收敛。
收敛半径 $R=\sqrt[3]{2}$，收敛域 $[-\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2})$。
难度：★★★☆☆
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### （4）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n 4^{n-1} x^{2n}}$
令 $t=x^2$，则级数为 $\sum n 4^{n-1} t^n$，系数 $a_n = n 4^{n-1}$，比值法： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)4^n}{n4^{n-1}} = 4 $$ 所以 $|t| < \frac14$，即 $|x| < \frac12$。
端点： - $x=\pm\frac12$：通项为 $n 4^{n-1} (\frac14)^n = \frac{n}{4}$，不趋于0，发散。
收敛半径 $R=\frac12$，收敛域 $(-\frac12,\frac12)$。
难度：★★☆☆☆
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### （5）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n} x^{n}}$
比值法： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n+1)/(n+1)}{\ln n / n} = 1 $$ 所以 $R=1$。
端点： - $x=1$：$\sum \frac{\ln n}{n}$ 发散（比较判别法）。 - $x=-1$：交错级数 $\sum (-1)^n \frac{\ln n}{n}$，由莱布尼茨判别法，$\frac{\ln n}{n}$ 递减趋于0，收敛。
收敛域 $[-1,1)$。
难度：★★★☆☆
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### （6）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left[\left(\frac12\right)^n + 4^n\right] x^n}$
分成两个级数： - $\sum (\frac12)^n x^n$ 收敛半径 $2$ - $\sum 4^n x^n$ 收敛半径 $\frac14$
取较小半径，$R=\frac14$。
端点： - $x=\frac14$：通项 $(\frac12)^n(\frac14)^n + 4^n(\frac14)^n = (\frac18)^n + 1$，不趋于0，发散。 - $x=-\frac14$：通项 $(\frac12)^n(-\frac14)^n + 4^n(-\frac14)^n = (-\frac18)^n + (-1)^n$，不趋于0，发散。
收敛域 $(-\frac14,\frac14)$。
难度：★★☆☆☆
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### （7）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{n^2}}$
系数绝对值 $\frac{1}{n^2}$，比值极限为1，$R=1$。
端点： - $x=1$：$\sum (-1)^n \frac{1}{n^2}$ 绝对收敛。 - $x=-1$：$\sum \frac{1}{n^2}$ 绝对收敛。
收敛域 $[-1,1]$。
难度：★☆☆☆☆
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### （8）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(2n)!!}}$
$(2n)!! = 2^n n!$，比值法： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{2^n n!}{2^{n+1}(n+1)!} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2(n+1)} = 0 $$ 所以 $R=+\infty$，收敛域 $(-\infty,+\infty)$。
难度：★★☆☆☆
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### （9）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^2+1} x^n}$
比值法： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}/((n+1)^2+1)}{2^n/(n^2+1)} = 2 $$ 所以 $R=\frac12$。
端点： - $x=\frac12$：通项 $\frac{1}{n^2+1}$ 收敛。 - $x=-\frac12$：通项 $(-1)^n \frac{1}{n^2+1}$ 绝对收敛。
收敛域 $[-\frac12,\frac12]$。
难度：★★☆☆☆
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### （10）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n\cdot 3^n}}$
比值法： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{1/((n+1)3^{n+1})}{1/(n3^n)} = \frac13 $$ 所以 $R=3$。
端点： - $x=3$：$\sum \frac{1}{n}$ 发散。 - $x=-3$：$\sum (-1)^n \frac{1}{n}$ 条件收敛。
收敛域 $[-3,3)$。
难度：★★☆☆☆
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### （11）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}}$
提出 $x$，令 $t=x^2$： $$ x\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{t^n}{2n+1} $$ 比值法： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{2n+3} = 1 $$ 所以 $|t|<1$ 即 $|x|<1$。
端点： - $x=1$：$\sum (-1)^n \frac{1}{2n+1}$ 条件收敛。 - $x=-1$：$\sum (-1)^n \frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1} = \sum (-1)^{n+1}\frac{1}{2n+1}$ 也条件收敛。
收敛域 $[-1,1]$。
难度：★★☆☆☆
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### （12）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2