📝 题目
8．判别下列级数的收敛性，并求出其中收敛级数的和． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5 n}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin \frac{n \pi}{3}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^{n}}{2^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2 n-1}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \ln \frac{n^{2}-1}{n^{2}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5 n}$
此为调和级数乘常数： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5n} = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $$ 调和级数发散，故原级数发散。
**（2）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin \frac{n \pi}{3}$
通项不趋于0： $$ \sin\frac{n\pi}{3} \in \left\{ \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \dots \right\} $$ 显然 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sin\frac{n\pi}{3} \neq 0$，故级数发散。
**（3）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^{n}}{2^{n}}$
拆成两个几何级数： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2^{n}} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n}} = 3\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n} $$ 公比绝对值均小于1，收敛： $$ 3\cdot\frac{\frac12}{1-\frac12} + \frac{-\frac12}{1-(-\frac12)} = 3\cdot 1 + \frac{-\frac12}{\frac32} = 3 - \frac13 = \frac{8}{3} $$ 故收敛，和为 $\frac{8}{3}$。
**（4）** $\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}}$
注意到 $\sqrt[n]{n} \to 1$，故通项 $\frac{1}{\sqrt[n]{n}} \to 1 \neq 0$，级数发散。
**（5）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2 n-1}$
通项极限： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n-1} = \frac12 \neq 0 $$ 故级数发散。
**（6）** $\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \ln \frac{n^{2}-1}{n^{2}}$
先化简： $$ \ln\frac{n^{2}-1}{n^{2}} = \ln\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right) $$ 考虑部分和： $$ S_N = \sum_{n=2}^{N} \ln\frac{n^{2}-1}{n^{2}} = \sum_{n=2}^{N} \left[ \ln(n-1) + \ln(n+1) - 2\ln n \right] $$ 此为 telescoping： $$ S_N = (\ln1 + \ln3 - 2\ln2) + (\ln2 + \ln4 - 2\ln3) + \cdots + (\ln(N-1) + \ln(N+1) - 2\ln N) $$ 化简得： $$ S_N = \ln1 - \ln2 - \ln N + \ln(N+1) = -\ln2 + \ln\frac{N+1}{N} $$ 当 $N\to\infty$，$\ln\frac{N+1}{N} \to 0$，故 $$ \sum_{n=2}^{\infty} \ln\frac{n^{2}-1}{n^{2}} = -\ln 2 $$ 收敛，和为 $-\ln 2$。
**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考察级数收敛基本判别法与简单裂项求和，计算量小，但需注意细节）