📝 题目
7．根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性，并求出其中收敛级数的和． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\mathrm{e}^{n}}{3^{n}}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1)(n+1)}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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### （1）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\mathrm{e}^{n}}{3^{n}}}$
**第一步：写出通项并化简** 通项为 $$ a_n = (-1)^{n-1} \frac{\mathrm{e}^{n}}{3^{n}} = (-1)^{n-1} \left( \frac{\mathrm{e}}{3} \right)^n $$ 由于 $\frac{\mathrm{e}}{3} \approx 0.906$，绝对值小于1，因此这是一个公比 $q = -\frac{\mathrm{e}}{3}$ 的等比级数，且 $|q| < 1$，级数收敛。
**第二步：求和** 等比级数求和公式： $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \left( \frac{\mathrm{e}}{3} \right)^n = \frac{\text{首项}}{1 - \text{公比}} $$ 首项为 $n=1$ 时： $$ a_1 = (-1)^{0} \frac{\mathrm{e}}{3} = \frac{\mathrm{e}}{3} $$ 公比 $q = -\frac{\mathrm{e}}{3}$，因此 $$ S = \frac{\frac{\mathrm{e}}{3}}{1 - \left(-\frac{\mathrm{e}}{3}\right)} = \frac{\frac{\mathrm{e}}{3}}{1 + \frac{\mathrm{e}}{3}} = \frac{\frac{\mathrm{e}}{3}}{\frac{3+\mathrm{e}}{3}} = \frac{\mathrm{e}}{3+\mathrm{e}} $$
**结论：** 级数收敛，和为 $\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{3+\mathrm{e}}$。
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### （2）$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1)(n+1)}}$
**第一步：裂项** $$ \frac{1}{(n-1)(n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right) $$ 验证： $$ \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1) - (n-1)}{(n-1)(n+1)} = \frac{2}{(n-1)(n+1)} $$ 因此原式成立。
**第二步：写出部分和** $$ S_N = \sum_{n=2}^{N} \frac{1}{(n-1)(n+1)} = \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{N} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right) $$ 展开： $$ = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{N-1} - \frac{1}{N+1} \right) \right] $$ 可见中间项 $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots, \frac{1}{N-1}$ 均会抵消，剩下： $$ S_N = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{N} - \frac{1}{N+1} \right) $$
**第三步：取极限** $$ \lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - 0 - 0 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} $$
**结论：** 级数收敛，和为 $\displaystyle \frac{3}{4}$。
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**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考察等比级数与裂项求和的基础方法，计算量小，步骤清晰。）