📝 题目
6．写出下列级数的通项，并判断级数的玫散性． （1）$\frac{3}{4}-\frac{3^{2}}{4^{2}}+\frac{3^{3}}{4^{3}}-\frac{3^{4}}{4^{4}}+\cdots$ ； （2）$\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{3}{4}}+\cdots$ ； （3）$\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{5}\right)+\left(\frac{1}{3^{2}}-\frac{2}{5^{2}}\right)+\left(\frac{1}{3^{3}}-\frac{2}{5^{3}}\right)+\cdots$ ； （4）$\left(\frac{1}{2}+2\right)+\left(\frac{1}{2^{2}}+2^{2}\right)+\left(\frac{1}{2^{3}}+2^{3}\right)+\cdots$ ； （5）$(1-\cos 1)+4\left(1-\cos \frac{1}{2}\right)+9\left(1-\cos \frac{1}{3}\right)+16\left(1-\cos \frac{1}{4}\right)+\cdots$ 。
💡 答案与解析
[AI解答]
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**习题8-1 第6题** 写出通项并判断级数的敛散性。
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### （1） 级数： $$ \frac{3}{4} - \frac{3^2}{4^2} + \frac{3^3}{4^3} - \frac{3^4}{4^4} + \cdots $$ 通项： $$ u_n = (-1)^{n-1} \left(\frac{3}{4}\right)^n,\quad n=1,2,3,\dots $$ 这是公比 $ q = -\frac{3}{4} $ 的等比级数， $$ |q| = \frac{3}{4} < 1 $$ 因此级数收敛。 **结论**：收敛。
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### （2） 级数： $$ \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{2}{3}} + \sqrt{\frac{3}{4}} + \cdots $$ 通项： $$ u_n = \sqrt{\frac{n}{n+1}},\quad n=1,2,3,\dots $$ 由于 $$ \lim_{n\to\infty} u_n = \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{n}{n+1}} = 1 \neq 0 $$ 由级数收敛的必要条件，该级数发散。 **结论**：发散。
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### （3） 级数： $$ \left(\frac{1}{3} - \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{1}{3^2} - \frac{2}{5^2}\right) + \left(\frac{1}{3^3} - \frac{2}{5^3}\right) + \cdots $$ 通项： $$ u_n = \frac{1}{3^n} - \frac{2}{5^n},\quad n=1,2,3,\dots $$ 该级数为两个等比级数的差： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \quad\text{公比}\quad \frac{1}{3} < 1,\quad \text{收敛} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^n} \quad\text{公比}\quad \frac{1}{5} < 1,\quad \text{收敛} $$ 收敛级数的差仍收敛。 **结论**：收敛。
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### （4） 级数： $$ \left(\frac{1}{2} + 2\right) + \left(\frac{1}{2^2} + 2^2\right) + \left(\frac{1}{2^3} + 2^3\right) + \cdots $$ 通项： $$ u_n = \frac{1}{2^n} + 2^n,\quad n=1,2,3,\dots $$ 由于 $$ \lim_{n\to\infty} u_n = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{2^n} + 2^n \right) = +\infty \neq 0 $$ 不满足收敛必要条件，故发散。 **结论**：发散。
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### （5） 级数： $$ (1-\cos 1) + 4\left(1-\cos\frac{1}{2}\right) + 9\left(1-\cos\frac{1}{3}\right) + 16\left(1-\cos\frac{1}{4}\right) + \cdots $$ 通项： $$ u_n = n^2\left(1 - \cos\frac{1}{n}\right),\quad n=1,2,3,\dots $$ 利用等价无穷小：当 $ x\to 0 $ 时， $$ 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} $$ 因此当 $ n\to\infty $ 时， $$ u_n \sim n^2 \cdot \frac{1}{2n^2} = \frac{1}{2} $$ 极限不为0，级数发散。 **结论**：发散。
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**难度评级**：★★☆☆☆