📝 题目
5．判断下列级数的玫散性． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1) n}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \frac{n+1}{n}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}[a+(n-1) b](a\gt 0, b\gt 0)$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{8^{n}}{9^{n}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们逐项判断级数的敛散性。
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### （1）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1) n}$
**解**： 利用裂项法： $$ \frac{1}{(n-1)n} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} $$ 部分和： $$ S_N = \sum_{n=2}^{N} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) = 1 - \frac{1}{N} $$ 当 $N \to \infty$ 时，$S_N \to 1$，所以级数收敛。
**结论**：收敛。
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### （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \frac{n+1}{n}$
**解**： $$ \ln \frac{n+1}{n} = \ln(n+1) - \ln n $$ 部分和： $$ S_N = \sum_{n=1}^{N} [\ln(n+1) - \ln n] = \ln(N+1) - \ln 1 = \ln(N+1) $$ 当 $N \to \infty$，$S_N \to \infty$，所以级数发散。
**结论**：发散。
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### （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)$
**解**： 这是两个收敛的等比级数之和： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} = \frac{\frac12}{1-\frac12} = 1,\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}} = \frac{\frac13}{1-\frac13} = \frac12 $$ 所以原级数收敛，和为 $1 + \frac12 = \frac32$。
**结论**：收敛。
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### （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
**解**： 有理化： $$ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} $$ 部分和： $$ S_N = \sum_{n=1}^{N} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \sqrt{N+1} - 1 $$ 当 $N \to \infty$，$S_N \to \infty$，所以级数发散。
**结论**：发散。
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### （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}[a+(n-1) b]\quad (a>0, b>0)$
**解**： 通项为 $a + (n-1)b$，当 $n \to \infty$ 时，通项 $\to \infty \neq 0$，由级数收敛的必要条件可知级数发散。
**结论**：发散。
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### （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{8^{n}}{9^{n}}$
**解**： 这是公比 $q = -\frac{8}{9}$ 的等比级数，且 $|q| = \frac{8}{9} < 1$，所以收敛。
首项为 $-\frac{8}{9}$，和为： $$ \frac{-\frac{8}{9}}{1 - (-\frac{8}{9})} = \frac{-\frac{8}{9}}{1 + \frac{8}{9}} = \frac{-\frac{8}{9}}{\frac{17}{9}} = -\frac{8}{17} $$
**结论**：收敛。
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**最终答案**： 1. 收敛 2. 发散 3. 收敛 4. 发散 5. 发散 6. 收敛
**难度评级**：★☆☆☆☆