第8章 · 第8-3-4题

[AI解答]

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以下是习题8-3第4题各小题的解答，均使用幂级数求和的标准方法（逐项积分或逐项求导）。

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### （1） $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4 n+1}}{4 n+1}$

**解**： 设 $$ S(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{4n+1} $$ 先求导： $$ S'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} x^{4n} = \frac{1}{1-x^4},\quad |x|<1 $$ 积分得： $$ S(x)=\int_0^x \frac{1}{1-t^4}\,dt $$ 利用部分分式： $$ \frac{1}{1-t^4}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-t^2}+\frac{1}{1+t^2}\right) $$ 再分解： $$ \frac{1}{1-t^2}=\frac12\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right) $$ 于是： $$ S(x)=\frac14\int_0^x\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}+\frac{2}{1+t^2}\right)dt $$ $$ =\frac14\left[-\ln|1-t|+\ln|1+t|+2\arctan t\right]_0^x $$ $$ =\frac14\left(\ln\frac{1+x}{1-x}+2\arctan x\right),\quad |x|<1 $$

**答案**： $$ \boxed{S(x)=\frac14\left(\ln\frac{1+x}{1-x}+2\arctan x\right),\quad |x|<1} $$

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### （2） $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$

**解**： 已知 $$ \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x},\quad |x|<1 $$ 逐项求导： $$ \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2} $$

**答案**： $$ \boxed{\frac{1}{(1-x)^2},\quad |x|<1} $$

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### （3） $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n \cdot 4^{n}}$

**解**： 令 $$ S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\frac{x}{4}\right)^n $$ 已知 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n} = -\ln(1-y),\quad |y|<1 $$ 取 $y=x/4$，得： $$ S(x)=-\ln\left(1-\frac{x}{4}\right),\quad |x|<4 $$

**答案**： $$ \boxed{-\ln\left(1-\frac{x}{4}\right),\quad |x|<4} $$

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### （4） $\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n-1) n}$

**解**： 注意到 $$ \frac{1}{(n-1)n} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} $$ 于是 $$ S(x)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^n}{n-1} - \sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^n}{n} $$ 第一个和：令 $m=n-1$，得 $$ \sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^{m+1}}{m}=x\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^m}{m} = -x\ln(1-x) $$ 第二个和： $$ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} - x = -\ln(1-x)-x $$ 相减： $$ S(x)= -x\ln(1-x) - \bigl(-\ln(1-x)-x\bigr) = (1-x)\ln(1-x)+x $$

**答案**： $$ \boxed{(1-x)\ln(1-x)+x,\quad |x|<1} $$

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### （5） $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$

**解**： 令 $$ S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n} x^{2n-2} $$ 提取 $x^{-2}$ 因子（先考虑 $x\neq0$）： $$ S(x)=\frac{1}{x^2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n} x^{2n} $$ 令 $t=x^2/2$，则 $$ \sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) t^n = 2\sum_{n=1}^{\infty} n t^n - \sum_{n=1}^{\infty} t^n $$ 已知 $$ \sum_{n=1}^{\infty} n t^n = \frac{t}{(1-t)^2},\quad \sum_{n=1}^{\infty} t^n = \frac{t}{1-t} $$ 所以 $$ \sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) t^n = \frac{2t}{(1-t)^2} - \frac{t}{1-t} = \frac{t(1+t)}{(1-t)^2} $$ 代回 $t=x^2/2$： $$ S(x)=\frac{1}{x^2}\cdot \frac{\frac{x^2}{2}\left(1+\frac{x^2}{2}\right)}{\left(1-\frac{x^2}{2}\right)^2} = \frac{1+\frac{x^2}{2}}{2\left(1-\frac{x^2}{2}\right)^2} = \frac{2+x^2}{2\left(1-\frac{x^2}{2}\right)^2} $$ 化简： $$ S(x)=\frac{2+x^2}{(2-x^2)^2}\cdot 2? $$ 检查： $$ \left(1-\frac{x^2}{2}\right)^2 = \frac{(2-x^2)^2}{4} $$ 所以 $$ S(x)=\frac{2+x^2}{2}\cdot \frac{4}{(2-x^2)^2} = \frac{2(2+x^2)}{(2-x^2)^2} $$

**答案**： $$ \boxed{\frac{2(2+x^2)}{(2-x^2)^2},\quad |x|<\sqrt{2}} $$

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### （6） $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$

**解**： $$ S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} (2n+1)x^n = 2\sum_{n=1}^{\infty} n x^n + \sum_{n=1}^{\infty} x^n $$ 已知 $$ \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2},\quad \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x} $$ 所以 $$ S(x)=\frac{2x}{(1-x)^2} + \frac{x}{1-x} = \frac{2x + x(1-x)}{(1-x)^2} = \frac{3x - x^2}{(1-x)^2} $$

**答案**： $$ \boxed{\frac{x(3-x)}{(1-x)^2},\quad |x|<1} $$

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### （7） $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{2} x^{n-1}$

**解**： 注意到 $$ \frac{n(n+1)}{2} = \binom{n+1}{2} $$ 考虑 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \binom{n+1}{2} x^{n-1} = \frac12 \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)x^{n-1} $$ 已知 $$ \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} $$ 求导两次： $$ \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)x^{n-2} = \frac{2}{(1-x)^3} $$ 调整指标：令 $n=m+1$，则 $$ \sum_{m=1}^{\infty} (m+1)m x^{m-1} = \frac{2}{(1-x)^3} $$ 这正是所求的和的两倍（因为 $n(n