📝 题目
5．写出下列函数的带皮亚诺型余项的麦克劳林公式： $(1) f(x)=\mathrm{e}^{3 x}$ ； （2）$f(x)=2 \sin x \cdot \cos x$ ； （3）$f(x)=\sqrt{1+x}$ ； （4）$f(x)=\ln \left(1-x^{2}\right)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们将分别写出每个函数的带皮亚诺型余项的麦克劳林公式（即在 $x=0$ 处展开到指定阶数，余项写作 $o(x^n)$ 形式）。题目未指定阶数，通常我们默认展开到 $x^n$ 项，并写出一般形式。
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**(1)** $f(x) = e^{3x}$ 已知 $e^t = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{t^k}{k!} + o(t^n)$，令 $t=3x$，则 $$ e^{3x} = \sum_{k=0}^{n} \frac{(3x)^k}{k!} + o(x^n) = \sum_{k=0}^{n} \frac{3^k}{k!} x^k + o(x^n). $$
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**(2)** $f(x) = 2\sin x \cos x = \sin 2x$ 已知 $\sin t = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{t^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(t^{2n+2})$，令 $t=2x$，则 $$ \sin 2x = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{(2x)^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2n+2}) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{2^{2k+1}}{(2k+1)!} x^{2k+1} + o(x^{2n+2}). $$
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**(3)** $f(x) = \sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2}$ 利用二项展开式 $(1+x)^{\alpha} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{\alpha}{k} x^k + o(x^n)$，其中 $$ \binom{1/2}{k} = \frac{(1/2)(1/2-1)\cdots(1/2-k+1)}{k!}. $$ 于是 $$ \sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \cdots + \binom{1/2}{n} x^n + o(x^n). $$
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**(4)** $f(x) = \ln(1 - x^2)$ 已知 $\ln(1+t) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \frac{t^k}{k} + o(t^n)$，令 $t = -x^2$，则 $$ \ln(1 - x^2) = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \frac{(-x^2)^k}{k} + o(x^{2n}) = -\sum_{k=1}^{n} \frac{x^{2k}}{k} + o(x^{2n}). $$
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**难度评级**：★☆☆☆☆ 均为基本初等函数的麦克劳林展开，直接套用公式即可，无复杂运算。