📝 题目
6．将下列函数展开成关于 $x$ 的幂级数，并指出展开式成立的区间。 （1）$a^{x}$ ； （2） $\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ； （3）$\frac{1}{x^{2}-3 x+2}$ ； （4）$\frac{1}{1+x^{2}}$ ； （5） $\ln (1+x)$ ； （6）$\frac{1}{(1-x)^{2}}$ ； （7） $\cos ^{2} x$ ； （8）$\frac{x^{4}}{1-x}$ ； （9）$\frac{x}{1-x^{2}}$ ； （10）$\frac{x}{4+x^{2}}$ ； （11）$(x+1)(\ln (1+x)-1)$ ； （12） $\arctan \frac{4+x^{2}}{4-x^{2}}$ ； （13） $\ln \frac{1+x}{1-x}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
以下为各小题的幂级数展开及收敛区间。
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### （1）$ a^x $
利用指数函数展开： $$ a^x = e^{x\ln a} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x\ln a)^n}{n!} $$ 收敛区间为 $ (-\infty, +\infty) $。
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### （2）$ e^{-x^2} $
由 $ e^t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} $，令 $ t = -x^2 $： $$ e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} $$ 收敛区间为 $ (-\infty, +\infty) $。
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### （3）$ \frac{1}{x^2 - 3x + 2} $
因式分解： $$ \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} $$ 改写为： $$ = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1 - \frac{x}{2}} + \frac{1}{1-x} $$ 展开： $$ = -\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n + \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right) x^n $$ 收敛区间为 $ |x|<1 $。
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### （4）$ \frac{1}{1+x^2} $
由几何级数： $$ \frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} $$ 收敛区间为 $ |x|<1 $。
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### （5）$ \ln(1+x) $
已知展开： $$ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} $$ 收敛区间为 $ -1 < x \le 1 $。
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### （6）$ \frac{1}{(1-x)^2} $
由 $ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n $，逐项求导： $$ \frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n $$ 收敛区间为 $ |x|<1 $。
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### （7）$ \cos^2 x $
利用恒等式： $$ \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2} $$ 而 $$ \cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^{2n}}{(2n)!} $$ 所以 $$ \cos^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n-1} x^{2n}}{(2n)!} $$ 收敛区间为 $ (-\infty, +\infty) $。
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### （8）$ \frac{x^4}{1-x} $
$$ \frac{x^4}{1-x} = x^4 \cdot \frac{1}{1-x} = x^4 \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \sum_{n=4}^{\infty} x^n $$ 收敛区间为 $ |x|<1 $。
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### （9）$ \frac{x}{1-x^2} $
$$ \frac{x}{1-x^2} = x \cdot \frac{1}{1-x^2} = x \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n+1} $$ 收敛区间为 $ |x|<1 $。
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### （10）$ \frac{x}{4+x^2} $
改写： $$ \frac{x}{4+x^2} = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x^2}{4}} = \frac{x}{4} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{x^2}{4}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{4^{n+1}} x^{2n+1} $$ 收敛区间为 $ |x|<2 $。
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### （11）$ (x+1)(\ln(1+x)-1) $
先展开 $\ln(1+x)$： $$ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} $$ 所以 $$ \ln(1+x)-1 = -1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} $$ 乘以 $x+1$： $$ (x+1)(\ln(1+x)-1) = (x+1)\left(-1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}\right) $$ 展开并整理： $$ = -x -1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{n+1}}{n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} $$ 合并同次幂可得最终级数，收敛区间为 $ -1 < x \le 1 $。
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### （12）$ \arctan \frac{4+x^2}{4-x^2} $
注意恒等式： $$ \arctan \frac{4+x^2}{4-x^2} = \frac{\pi}{4} + \arctan\frac{x^2}{4} $$ （可通过正切加法公式验证） 于是： $$ \arctan\frac{x^2}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \left(\frac{x^2}{4}\right)^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)4^{2n+1}} x^{4n+2} $$ 因此原式 = $\frac{\pi}{4} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)4^{2n+1}} x^{4n+2}$，收敛区间为 $|x|<2$。
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### （13）$ \ln \frac{1+x}{1-x} $
利用对数性质： $$ \ln\frac{1+x}{1-x} = \ln(1+x) - \ln(1-x) $$ 展开： $$ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}+1}{n} x^n $$ 当 $n$ 为奇数时，$(-1)^{n-1}+1 = 2$；偶数时为 0，所以： $$ = 2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} $$ 收敛区间为 $ |x|<1 $。
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**难度评级**：★★★☆☆ （涉及多种函数展开技巧，部分小题需要代数变形或恒等式，但整体思路常规。）