📝 题目
7．将下列函数展开成 $x-x_{0}$ 的幂级数（即在点 $x_{0}$ 处的泰勒级数），并指出展开式成立的区间。 （1）$\frac{1}{x^{2}+4 x+3}, x_{0}=1$ ； （2）$\sqrt{x}, x_{0}=1$ ； （3）$\frac{1}{x^{2}}, x_{0}=1$ ； （4） $\ln \frac{x}{1+x}, x_{0}=1$ ； （5）$\frac{1}{2-x}, x_{0}=-2$ ； （6） $\mathrm{e}^{x}, x_{0}=-1$ ．
💡 答案与解析
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以下为各小题的详细解答。
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### （1）$\displaystyle{\frac{1}{x^{2}+4x+3},\quad x_0=1}$
先分解分母： $$ x^2+4x+3=(x+1)(x+3) $$ 部分分式： $$ \frac{1}{(x+1)(x+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}\right) $$ 令 $t=x-1$，则 $x=t+1$，于是 $$ x+1=t+2,\quad x+3=t+4 $$ 所以 $$ \frac{1}{x+1}=\frac{1}{t+2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{t}{2}}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{t}{2}\right)^n,\quad |t|<2 $$ $$ \frac{1}{x+3}=\frac{1}{t+4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1+\frac{t}{4}}=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{t}{4}\right)^n,\quad |t|<4 $$ 因此 $$ \frac{1}{x^2+4x+3}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{t^n}{2^n}-\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{t^n}{4^n}\right] $$ $$ =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{2^{n+2}}-\frac{1}{2^{2n+3}}\right)(x-1)^n $$ 收敛区间取 $|t|<2$，即 $|x-1|<2$，所以区间为 $(-1,3)$。
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### （2）$\displaystyle{\sqrt{x},\quad x_0=1}$
令 $t=x-1$，则 $$ \sqrt{x}=\sqrt{1+t}=(1+t)^{1/2} $$ 利用二项式展开： $$ (1+t)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}t^n,\quad |t|<1 $$ 其中 $$ \binom{1/2}{n}=\frac{(1/2)(1/2-1)\cdots(1/2-n+1)}{n!} $$ 所以 $$ \sqrt{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}(x-1)^n,\quad |x-1|<1 $$ 区间为 $(0,2)$。
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### （3）$\displaystyle{\frac{1}{x^{2}},\quad x_0=1}$
令 $t=x-1$，则 $x=1+t$， $$ \frac{1}{x^2}=(1+t)^{-2} $$ 由二项式展开： $$ (1+t)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-2}{n}t^n,\quad |t|<1 $$ 其中 $$ \binom{-2}{n}=(-1)^n(n+1) $$ 因此 $$ \frac{1}{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(n+1)(x-1)^n,\quad |x-1|<1 $$ 区间为 $(0,2)$。
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### （4）$\displaystyle{\ln\frac{x}{1+x},\quad x_0=1}$
先变形： $$ \ln\frac{x}{1+x}=\ln x-\ln(1+x) $$ 令 $t=x-1$，则 $$ \ln x=\ln(1+t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}t^n,\quad |t|<1 $$ 而 $$ \ln(1+x)=\ln(2+t)=\ln 2+\ln\left(1+\frac{t}{2}\right)=\ln 2+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\left(\frac{t}{2}\right)^n,\quad |t|<2 $$ 所以 $$ \ln\frac{x}{1+x}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}t^n-\ln 2-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\frac{t^n}{2^n} $$ $$ =-\ln 2+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)(x-1)^n $$ 收敛区间取 $|t|<1$，即 $|x-1|<1$，区间为 $(0,2)$。
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### （5）$\displaystyle{\frac{1}{2-x},\quad x_0=-2}$
令 $t=x+2$，则 $x=t-2$， $$ 2-x=2-(t-2)=4-t $$ 所以 $$ \frac{1}{2-x}=\frac{1}{4-t}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1-\frac{t}{4}}=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{t}{4}\right)^n,\quad |t|<4 $$ 即 $$ \frac{1}{2-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+2)^n}{4^{n+1}},\quad |x+2|<4 $$ 区间为 $(-6,2)$。
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### （6）$\displaystyle{\mathrm{e}^{x},\quad x_0=-1}$
令 $t=x+1$，则 $$ \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{t-1}=\mathrm{e}^{-1}\mathrm{e}^{t}=\frac{1}{\mathrm{e}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!} $$ 所以 $$ \mathrm{e}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+1)^n}{\mathrm{e}\,n!},\quad -\infty --- **难度评级**：★★☆☆☆ （主要考查部分分式、变量代换与常见展开公式，计算量中等但思路直接）