📝 题目
1．选择题． （1）下列级数收敛的是（）。 A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(\cos n)^{2}}{5^{n}}$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}}{4^{n}}$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{1000 n+1}$ D．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ （2）下列级数发散的是（ ）． A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n^{3}}\right)$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ D．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n^{2}}$ （3）交错级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}$ 若满足 则交错级数收敛。 A．$u_{n} \geqslant u_{n+1}(n=1,2,3, \cdots)$ B． $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ C． $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \leqslant 1$ D．$u_{n} \geqslant u_{n+1}(n=1,2,3, \cdots)$ 且 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ （4）设 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 为任意项级数，那么（ ．
A．如果 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 收敛，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛 B．如果 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 条件收敛 C．如果 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 收敛，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛 D．如果 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛 （5）下列级数条件收敛的是 ． A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \sin \frac{1}{n}$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{2^{n}}$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{2 n+3}$ D．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{3 n^{2}+1}$ （6）下列级数中绝对收敛的是（ ． A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{2 n+1}}$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{3}{2}\right)^{n}$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n^{3}}}$ D．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n-1)}{n}$ （7）级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a^{n}}$ 的敛散情况是（ ．
A．当 $a\gt 0$ 时收敛 B．当 $a\gt 0$ 时发散 C．当 $0\lt |a| \leqslant 1$ 时发散，当 $|a|\gt 1$ 时收敛 D．当 $0\lt |a| \leqslant 1$ 时收敛，当 $|a|\gt 1$ 时发散
💡 答案与解析
[AI解答]
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**习题8-2 选择题解答**
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### （1）下列级数收敛的是（ ）
**A.** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(\cos n)^{2}}{5^{n}}$ 因为 $0 \le (\cos n)^2 \le 1$，所以 $$ 0 \le \frac{(\cos n)^2}{5^n} \le \frac{1}{5^n} $$ 而 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^n}$ 是公比 $q=\frac{1}{5}<1$ 的等比级数，收敛。由比较判别法，原级数收敛。
**B.** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}}{4^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{5}{4}\right)^n$，公比 $>1$，发散。
**C.** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{1000 n+1}$，通项 $\frac{n}{1000n+1} \to \frac{1}{1000} \neq 0$，发散。
**D.** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}}$，与 $p=\frac12$ 的 $p$ 级数比较，发散。
**答案：A**
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### （2）下列级数发散的是（ ）
**A.** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ 当 $n\to\infty$，$\ln(1+\frac1n) \sim \frac1n$，通项 $\sim \frac{1}{n^2}$，收敛。
**B.** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n^{3}}\right)$，$\ln(1+\frac1{n^3}) \sim \frac1{n^3}$，收敛。
**C.** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$，$\ln(1+\frac1{\sqrt{n}}) \sim \frac1{\sqrt{n}}$，发散（$p=\frac12$ 级数）。
**D.** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n^{2}}$，$\sin\frac1{n^2} \sim \frac1{n^2}$，收敛。
**答案：C**
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### （3）交错级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}$ 若满足（ ），则交错级数收敛。
莱布尼茨判别法条件：$u_n$ 单调递减趋于 0。 因此正确选项为 **D**。
**答案：D**
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### （4）设 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 为任意项级数，那么（ ）
绝对收敛定义：若 $\sum |u_n|$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛（绝对收敛）。 因此正确选项为 **C**。
**答案：C**
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### （5）下列级数条件收敛的是（ ）
**A.** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \sin \frac{1}{n}$ $\sin\frac1n \sim \frac1n$，绝对值级数发散（调和级数），交错级数满足莱布尼茨条件，条件收敛。
**B.** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{2^{n}}$，绝对值级数用比值判别法收敛，绝对收敛。
**C.** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{2 n+3}$，通项不趋于 0，发散。
**D.** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{3 n^{2}+1}$，绝对值级数收敛，绝对收敛。
**答案：A**
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### （6）下列级数中绝对收敛的是（ ）
**A.** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{2 n+1}}$，绝对值 $\sim \frac1{\sqrt{n}}$，发散，条件收敛。
**B.** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{3}{2}\right)^{n}$，通项不趋于 0，发散。
**C.** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n^{3}}}$，绝对值 $\sim \frac1{n^{3/2}}$，$p>1$，绝对收敛。
**D.** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n-1)}{n}$，通项不趋于 0，发散。
**答案：C**
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### （7）级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a^{n}}$ 的敛散情况是（ ）
当 $|a|>1$ 时，$a^n \to \infty$，通项 $\sim \frac1{a^n}$，几何级数收敛。 当 $0<|a|\le 1$ 时，$a^n$ 不趋于无穷，通项不趋于 0，发散。
**答案：C**
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**难度评级：★★☆☆☆** （主要考察基本判别法、莱布尼茨条件、绝对收敛与条件收敛概念，属于基础题型。）