📝 题目
10．判定下列级数的玫散性． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sqrt{n+1}\left(1-\cos \frac{\pi}{n}\right)$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(n+a)^{n}}{n^{n+a}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\pi}{n}-\sin \frac{\pi}{n}\right)$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(\ln \ln n)^{\ln n}}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{\mathrm{e}^{n}}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)^{n}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)$
当 $n\to\infty$ 时，$\ln(1+\frac{1}{n^2})\sim \frac{1}{n^2}$，而 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ 收敛，故原级数收敛。
**（2）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sqrt{n+1}\left(1-\cos \frac{\pi}{n}\right)$
利用 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$（$x\to0$），则 $$ 1-\cos\frac{\pi}{n}\sim \frac{\pi^2}{2n^2} $$ 于是通项 $$ \sqrt{n+1}\left(1-\cos\frac{\pi}{n}\right)\sim \sqrt{n}\cdot\frac{\pi^2}{2n^2}=\frac{\pi^2}{2}\cdot\frac{1}{n^{3/2}} $$ 而 $\displaystyle\sum\frac{1}{n^{3/2}}$ 收敛，故原级数收敛。
**（3）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(n+a)^{n}}{n^{n+a}}$
改写通项： $$ \frac{(n+a)^{n}}{n^{n+a}}=\frac{(n+a)^n}{n^n}\cdot\frac{1}{n^{a}}=\left(1+\frac{a}{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n^{a}}\to e^{a}\cdot\frac{1}{n^{a}}\quad (n\to\infty) $$ 当 $a>1$ 时，与 $\frac{1}{n^a}$ 比较，级数收敛；当 $a\le 1$ 时，通项不趋于0或发散，故级数在 $a>1$ 时收敛，$a\le1$ 时发散。
**（4）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\pi}{n}-\sin \frac{\pi}{n}\right)$
利用 $\sin x = x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，则 $$ \frac{\pi}{n}-\sin\frac{\pi}{n}\sim \frac{1}{6}\left(\frac{\pi}{n}\right)^3=\frac{\pi^3}{6}\cdot\frac{1}{n^3} $$ 而 $\displaystyle\sum\frac{1}{n^3}$ 收敛，故原级数收敛。
**（5）** $\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$
令 $a_n=\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$，取对数： $$ \ln a_n = -\ln n\cdot\ln(\ln n) $$ 对于充分大的 $n$，$\ln(\ln n)>2$，则 $\ln a_n < -2\ln n$，即 $a_n < \frac{1}{n^2}$，由比较判别法知级数收敛。
**（6）** $\displaystyle{\sum}_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(\ln\ln n)^{\ln n}}$
类似（5），取对数： $$ \ln a_n = -\ln n\cdot\ln(\ln\ln n) $$ 当 $n$ 充分大时，$\ln(\ln\ln n)>1$，则 $\ln a_n < -\ln n$，即 $a_n < \frac{1}{n}$，但 $\sum\frac{1}{n}$ 发散，此比较不够。更精确：对任意 $\epsilon>0$，当 $n$ 充分大时 $\ln(\ln\ln n)>\epsilon$，则 $a_n < \frac{1}{n^\epsilon}$，取 $\epsilon=2$ 得 $a_n<\frac{1}{n^2}$，故级数收敛。
**（7）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{\mathrm{e}^{n}}$
注意到 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\to e$，但这里分母是 $e^n$，通项为 $$ \frac{(1+1/n)^n}{e^n}=\left(\frac{(1+1/n)^n}{e}\right)^n $$ 由于 $(1+1/n)^n **（8）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)^{n}$ 取对数： $$ \ln a_n = n\ln\left(1-\frac{\ln n}{n}\right) \sim n\left(-\frac{\ln n}{n}-\frac{\ln^2 n}{2n^2}+\cdots\right)= -\ln n -\frac{\ln^2 n}{2n}+\cdots $$ 故 $a_n\sim \frac{1}{n}$，而 $\sum\frac{1}{n}$ 发散，故原级数发散。 --- **难度评级**：★★★☆☆ （涉及多种判别法及渐近展开，需仔细处理极限与比较）