人邮高数 第5章 第5-1-10题

[AI解答]

[AI解答]

设向量 $\boldsymbol{a}$ 与三个坐标轴 $x, y, z$ 正方向的夹角分别为 $\alpha, \beta, \gamma$。
由题意，这些夹角相等且均为锐角，故
$$
\alpha = \beta = \gamma = \theta, \quad 0 < \theta < \frac{\pi}{2}.
$$

方向余弦满足关系：
$$
\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1.
$$
代入 $\alpha = \beta = \gamma = \theta$ 得：
$$
3\cos^2\theta = 1 \quad\Rightarrow\quad \cos^2\theta = \frac{1}{3}.
$$
由于 $\theta$ 是锐角，$\cos\theta > 0$，所以
$$
\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}.
$$

因此方向余弦为：
$$
(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) = \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right).
$$

已知向量 $\boldsymbol{a}$ 的模为 $|\boldsymbol{a}| = 2\sqrt{3}$，则其坐标表达式为：
$$
\boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}| (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)
= 2\sqrt{3} \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)
= (2, 2, 2).
$$

因此，向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标表达式为：
$$
\boxed{(2, 2, 2)}
$$

难度：★☆☆☆☆