人邮高数 第5章 第5-1-12题
📝 题目
12．已知两点 $M_{1}(2,2, \sqrt{2})$ 和 $M_{2}(1,3,0)$ ，计算向量 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}$ 的模、方向余弦和方向角．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知两点 $M_{1}(2,2,\sqrt{2})$ 和 $M_{2}(1,3,0)$，先求向量 $\overrightarrow{M_{1}M_{2}}$：
$$
\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (1-2,\;3-2,\;0-\sqrt{2}) = (-1,\;1,\;-\sqrt{2})
$$
1. 向量的模
$$
|\overrightarrow{M_{1}M_{2}}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-\sqrt{2})^2}
= \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2
$$
2. 方向余弦
方向余弦公式为：
$$
\cos\alpha = \frac{x}{|\vec{v}|},\quad \cos\beta = \frac{y}{|\vec{v}|},\quad \cos\gamma = \frac{z}{|\vec{v}|}
$$
代入得：
$$
\cos\alpha = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2},\quad
\cos\beta = \frac{1}{2},\quad
\cos\gamma = \frac{-\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
$$
3. 方向角
由方向余弦值求角度（通常取 $0 \le \alpha,\beta,\gamma \le \pi$）：
$$
\alpha = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}
$$
$$
\beta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}
$$
$$
\gamma = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}
$$
因此，向量 $\overrightarrow{M_{1}M_{2}}$ 的模为 $2$，方向余弦为 $\left(-\dfrac{1}{2},\;\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$，方向角为 $\left(\dfrac{2\pi}{3},\;\dfrac{\pi}{3},\;\dfrac{3\pi}{4}\right)$。
难度：★☆☆☆☆