人邮高数 第5章 第5-1-16题

[AI解答]

[AI解答]

已知向量
$$
\boldsymbol{a}=(2,-3,1),\quad \boldsymbol{b}=(1,-1,3),\quad \boldsymbol{c}=(1,-2,0)
$$

---

（1）$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$

先计算：
$$
\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} = (2+1,\,-3-1,\,1+3) = (3,\,-4,\,4)
$$
$$
\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} = (1+1,\,-1-2,\,3+0) = (2,\,-3,\,3)
$$

叉积：
$$
(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})
= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
3 & -4 & 4 \\
2 & -3 & 3
\end{vmatrix}
$$

计算：
$$
\mathbf{i}((-4)\cdot 3 - 4\cdot(-3)) - \mathbf{j}(3\cdot 3 - 4\cdot 2) + \mathbf{k}(3\cdot(-3) - (-4)\cdot 2)
$$
$$
= \mathbf{i}(-12 + 12) - \mathbf{j}(9 - 8) + \mathbf{k}(-9 + 8)
$$
$$
= (0,\,-1,\,-1)
$$

所以：
$$
\boxed{(0,\,-1,\,-1)}
$$

---

（2）$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$

先求 $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$：
$$
\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & -3 & 1 \\
1 & -1 & 3
\end{vmatrix}
$$
$$
= \mathbf{i}((-3)\cdot 3 - 1\cdot(-1)) - \mathbf{j}(2\cdot 3 - 1\cdot 1) + \mathbf{k}(2\cdot(-1) - (-3)\cdot 1)
$$
$$
= \mathbf{i}(-9 + 1) - \mathbf{j}(6 - 1) + \mathbf{k}(-2 + 3)
$$
$$
= (-8,\,-5,\,1)
$$

再与 $\boldsymbol{c}=(1,-2,0)$ 点乘：
$$
(-8)\cdot 1 + (-5)\cdot(-2) + 1\cdot 0 = -8 + 10 + 0 = 2
$$

所以：
$$
\boxed{2}
$$

---

（3）$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}$

由（2）得 $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=(-8,-5,1)$，与 $\boldsymbol{c}=(1,-2,0)$ 叉乘：
$$
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-8 & -5 & 1 \\
1 & -2 & 0
\end{vmatrix}
$$
$$
= \mathbf{i}((-5)\cdot 0 - 1\cdot(-2)) - \mathbf{j}((-8)\cdot 0 - 1\cdot 1) + \mathbf{k}((-8)\cdot(-2) - (-5)\cdot 1)
$$
$$
= \mathbf{i}(0+2) - \mathbf{j}(0 - 1) + \mathbf{k}(16 + 5)
$$
$$
= (2,\,1,\,21)
$$

所以：
$$
\boxed{(2,\,1,\,21)}
$$

---

（4）$(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}$

先计算点积：
$$
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 2\cdot 1 + (-3)\cdot(-1) + 1\cdot 3 = 2 + 3 + 3 = 8
$$
$$
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c} = 2\cdot 1 + (-3)\cdot(-2) + 1\cdot 0 = 2 + 6 + 0 = 8
$$

于是：
$$
(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\boldsymbol{c} = 8\cdot(1,-2,0) = (8,-16,0)
$$
$$
(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b} = 8\cdot(1,-1,3) = (8,-8,24)
$$

相减：
$$
(8,-16,0) - (8,-8,24) = (0,\,-8,\,-24)
$$

所以：
$$
\boxed{(0,\,-8,\,-24)}
$$

---

难度：★☆☆☆☆