人邮高数 第5章 第5-1-25题
📝 题目
25．试用向量方法证明三角形的余弦定理。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
证明：设三角形 $ \triangle ABC $ 的三边分别为 $ \vec{a} = \overrightarrow{BC} $，$ \vec{b} = \overrightarrow{CA} $，$ \vec{c} = \overrightarrow{AB} $，且满足
$$
\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}.
$$
记角 $ A $ 为向量 $ \vec{c} $ 与 $ \vec{b} $ 的夹角，即 $ \angle A = \angle(\vec{c}, \vec{b}) $。
由向量关系可得
$$
\vec{a} = -(\vec{b} + \vec{c}).
$$
对两边取模的平方：
$$
|\vec{a}|^2 = |\vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{b}\cdot\vec{c}.
$$
根据向量点积的定义：
$$
\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}|\,|\vec{c}|\cos(\pi - A) = -|\vec{b}|\,|\vec{c}|\cos A,
$$
因为向量 $ \vec{b} $ 与 $ \vec{c} $ 的夹角为 $ \pi - A $（注意方向）。
代入上式得
$$
|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2|\vec{b}|\,|\vec{c}|\cos A.
$$
记 $ a = |\vec{a}| $，$ b = |\vec{b}| $，$ c = |\vec{c}| $，即得余弦定理：
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A.
$$
同理可证其他角的情形。
难度：★★☆☆☆