人邮高数 第5章 第5-1-24题

教材习题

📝 题目

24．设 $\boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}$ 与 $7 \boldsymbol{a}-5 \boldsymbol{b}$ 垂直， $\boldsymbol{a}-4 \boldsymbol{b}$ 与 $7 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}$ 垂直，求 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 之间的夹角 $\theta$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]

已知向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 均为非零向量（否则夹角无意义）。由垂直条件可得内积为零。

由第一个垂直条件：
$$
(\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}) \cdot (7\boldsymbol{a}-5\boldsymbol{b}) = 0
$$
展开：
$$
7\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} -5\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} +21\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a} -15\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b} = 0
$$
即：
$$
7|\boldsymbol{a}|^2 + 16\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} - 15|\boldsymbol{b}|^2 = 0 \quad (1)
$$

由第二个垂直条件：
$$
(\boldsymbol{a}-4\boldsymbol{b}) \cdot (7\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}) = 0
$$
展开：
$$
7\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} -2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} -28\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a} +8\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b} = 0
$$
即：
$$
7|\boldsymbol{a}|^2 -30\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} +8|\boldsymbol{b}|^2 = 0 \quad (2)
$$

用 (1) 式减去 (2) 式：
$$
(7|\boldsymbol{a}|^2 + 16\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} -15|\boldsymbol{b}|^2) - (7|\boldsymbol{a}|^2 -30\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} +8|\boldsymbol{b}|^2) = 0
$$
化简得：
$$
46\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} -23|\boldsymbol{b}|^2 = 0
$$
因此：
$$
46\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 23|\boldsymbol{b}|^2 \quad\Rightarrow\quad \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = \frac{1}{2}|\boldsymbol{b}|^2 \quad (3)
$$

将 (3) 代入 (1) 式：
$$
7|\boldsymbol{a}|^2 + 16\cdot\frac{1}{2}|\boldsymbol{b}|^2 -15|\boldsymbol{b}|^2 = 0
$$
即：
$$
7|\boldsymbol{a}|^2 + 8|\boldsymbol{b}|^2 -15|\boldsymbol{b}|^2 = 0
$$
$$
7|\boldsymbol{a}|^2 -7|\boldsymbol{b}|^2 = 0
$$
所以：
$$
|\boldsymbol{a}|^2 = |\boldsymbol{b}|^2 \quad\Rightarrow\quad |\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|
$$

由 (3) 式及 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$，得：
$$
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = \frac{1}{2}|\boldsymbol{a}|^2
$$

由夹角公式：
$$
\cos\theta = \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \frac{\frac{1}{2}|\boldsymbol{a}|^2}{|\boldsymbol{a}|^2} = \frac{1}{2}
$$
因此：
$$
\theta = \frac{\pi}{3}
$$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：利用垂直条件列出内积方程
由 (a+3b)⊥(7a-5b) 得 (a+3b)·(7a-5b)=0，展开得 7|a|^2 +16a·b -15|b|^2=0。由 (a-4b)⊥(7a-2b) 得 (a-4b)·(7a-2b)=0，展开得 7|a|^2 -30a·b +8|b|^2=0。
公式：(a+3b)·(7a-5b)=0; (a-4b)·(7a-2b)=0
提示：注意向量内积的分配律和交换律。
步骤 2/3
目标：解方程组求 a·b 与模长的关系
将两个方程相减：(7|a|^2+16a·b-15|b|^2) - (7|a|^2-30a·b+8|b|^2)=0，得 46a·b-23|b|^2=0，所以 a·b = (1/2)|b|^2。代入第一个方程：7|a|^2+16*(1/2)|b|^2-15|b|^2=0，即 7|a|^2-7|b|^2=0，故 |a|=|b|。
公式：a·b = (1/2)|b|^2; |a|=|b|
提示：相减消去 |a|^2 项，简化计算。
步骤 3/3
目标：计算夹角余弦值
由 |a|=|b| 和 a·b = (1/2)|a|^2，代入夹角公式 cosθ = (a·b)/(|a||b|) = (1/2)|a|^2 / |a|^2 = 1/2，所以 θ = π/3。
公式：cosθ = (a·b)/(|a||b|)
提示：注意向量非零，否则夹角无定义。

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