人邮高数 第5章 第5-1-23题
📝 题目
23．设 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 满足 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\mathbf{0}$ ．
（1）证明： $\displaystyle \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a}=-\frac{1}{2}\left(|\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2}+|\boldsymbol{c}|^{2}\right)$ ；
（2）若还满足 $|\boldsymbol{a}|=3,|\boldsymbol{b}|=4,|\boldsymbol{c}|=5$ ，求 $|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}|$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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（1）证明：
已知 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\mathbf{0}$，两边同时与自身作数量积：
$$
(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) = 0
$$
展开得：
$$
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{c} + 2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c} + \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}) = 0
$$
即
$$
|\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2}+|\boldsymbol{c}|^{2} + 2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}) = 0
$$
移项得：
$$
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a} = -\frac{1}{2}\left(|\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2}+|\boldsymbol{c}|^{2}\right)
$$
证毕。
（2）解：
由 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\mathbf{0}$ 可得 $\boldsymbol{c} = -(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$。
先化简向量表达式：
$$
\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} + \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c} + \boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a}
$$
将 $\boldsymbol{c} = -(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$ 代入：
$$
\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c} = \boldsymbol{b}\times(-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})) = -\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{b} = \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} \quad (\text{因为 } \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{b}=0,\ \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})
$$
$$
\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a} = -(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}
$$
因此三项之和为：
$$
\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = 3(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})
$$
于是所求模为：
$$
|3(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})| = 3|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|
$$
又因为 $|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta$，其中 $\theta$ 为 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 夹角。
由（1）结论：
$$
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = -\frac{1}{2}(|\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2}+|\boldsymbol{c}|^{2}) - (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})
$$
但更直接地，由 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=0$ 可得：
$$
\boldsymbol{c} = -(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \Rightarrow |\boldsymbol{c}|^{2} = |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^{2} = |\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}
$$
代入已知模长 $|\boldsymbol{a}|=3,|\boldsymbol{b}|=4,|\boldsymbol{c}|=5$：
$$
25 = 9 + 16 + 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} \Rightarrow 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 0 \Rightarrow \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0
$$
所以 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，于是 $|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| = 3\times 4 = 12$。
因此
$$
|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a}| = 3\times 12 = 36
$$
难度：★★☆☆☆