人邮高数 第5章 第5-1-28题

[AI解答]

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已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 两两垂直，即满足：
$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0,\quad \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} = 0,\quad \boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a} = 0.
$$
且长度分别为 $|\boldsymbol{a}| = 1$，$|\boldsymbol{b}| = 2$，$|\boldsymbol{c}| = 3$。

**第一步：求 $\boldsymbol{s} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}$ 的长度**

由向量模的平方公式：
$$
|\boldsymbol{s}|^2 = \boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{s}
= (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) \cdot (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})
$$
展开得：
$$
= \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{c}
+ 2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c} + \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})
$$
由于两两垂直，所有混合点积为零，因此：
$$
|\boldsymbol{s}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{c}|^2
= 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14.
$$
所以：
$$
|\boldsymbol{s}| = \sqrt{14}.
$$

**第二步：求 $\boldsymbol{s}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的夹角 $\theta_a$**

由点积公式：
$$
\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{a} = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{a}
= \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}
= |\boldsymbol{a}|^2 + 0 + 0 = 1.
$$
又：
$$
\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{a} = |\boldsymbol{s}|\,|\boldsymbol{a}|\cos\theta_a
= \sqrt{14} \cdot 1 \cdot \cos\theta_a.
$$
因此：
$$
\cos\theta_a = \frac{1}{\sqrt{14}},\quad \theta_a = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right).
$$

**第三步：求 $\boldsymbol{s}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角 $\theta_b$**

类似地：
$$
\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{b} = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{b}
= 0 + |\boldsymbol{b}|^2 + 0 = 4.
$$
又有：
$$
\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{b} = \sqrt{14} \cdot 2 \cdot \cos\theta_b.
$$
所以：
$$
\cos\theta_b = \frac{4}{2\sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{14}},\quad \theta_b = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right).
$$

**第四步：求 $\boldsymbol{s}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 的夹角 $\theta_c$**

同理：
$$
\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{c} = 0 + 0 + |\boldsymbol{c}|^2 = 9.
$$
又有：
$$
\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{c} = \sqrt{14} \cdot 3 \cdot \cos\theta_c.
$$
所以：
$$
\cos\theta_c = \frac{9}{3\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}},\quad \theta_c = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right).
$$

最终答案：
$$
|\boldsymbol{s}| = \sqrt{14},\quad
\theta_a = \arccos\frac{1}{\sqrt{14}},\quad
\theta_b = \arccos\frac{2}{\sqrt{14}},\quad
\theta_c = \arccos\frac{3}{\sqrt{14}}.
$$

难度：★☆☆☆☆