人邮高数 第5章 第5-2-11题
📝 题目
11．若平面 $x+k y-2 z=0$ 与平面 $2 x-3 y+z=0$ 的夹角为 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ，求 $k$ 的值．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知两平面方程分别为：
平面1：$x + k y - 2 z = 0$，法向量为 $\vec{n}_1 = (1, k, -2)$。
平面2：$2x - 3y + z = 0$，法向量为 $\vec{n}_2 = (2, -3, 1)$。
两平面夹角 $\theta$ 满足公式：
$$
\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{\|\vec{n}_1\| \|\vec{n}_2\|}
$$
已知夹角为 $\frac{\pi}{4}$，所以：
$$
\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$
先计算点积：
$$
\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \cdot 2 + k \cdot (-3) + (-2) \cdot 1 = 2 - 3k - 2 = -3k
$$
取绝对值：$|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2| = | -3k | = 3|k|$。
再计算模长：
$$
\|\vec{n}_1\| = \sqrt{1^2 + k^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + k^2 + 4} = \sqrt{k^2 + 5}
$$
$$
\|\vec{n}_2\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}
$$
代入夹角公式：
$$
\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3|k|}{\sqrt{k^2 + 5} \cdot \sqrt{14}}
$$
两边平方：
$$
\frac{1}{2} = \frac{9k^2}{14(k^2 + 5)}
$$
交叉相乘：
$$
14(k^2 + 5) = 18k^2
$$
$$
14k^2 + 70 = 18k^2
$$
$$
70 = 4k^2
$$
$$
k^2 = \frac{35}{2}
$$
所以：
$$
k = \pm \sqrt{\frac{35}{2}} = \pm \frac{\sqrt{70}}{2}
$$
因此，$k$ 的值为：
$$
\boxed{\pm \frac{\sqrt{70}}{2}}
$$
难度：★★☆☆☆