人邮高数 第5章 第5-2-4题
📝 题目
4．求经过两点 $(4,0,-2)$ 和 $(5,1,7)$ 且与 $x$ 轴平行的平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知平面经过两点 $A(4,0,-2)$ 和 $B(5,1,7)$，且与 $x$ 轴平行。
与 $x$ 轴平行，意味着平面的法向量垂直于 $x$ 轴的方向向量 $\mathbf{i}=(1,0,0)$。
因此，法向量 $\mathbf{n}$ 应同时垂直于 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\mathbf{i}$，即取两者的叉积。
首先计算向量 $\overrightarrow{AB}$：
$$
\overrightarrow{AB} = (5-4,\,1-0,\,7-(-2)) = (1,1,9)
$$
取叉积：
$$
\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \mathbf{i} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 1 & 9 \\
1 & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(1\cdot0 - 9\cdot0) - \mathbf{j}(1\cdot0 - 9\cdot1) + \mathbf{k}(1\cdot0 - 1\cdot1)
$$
$$
= \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(0 - 9) + \mathbf{k}(0 - 1)
= 0\mathbf{i} + 9\mathbf{j} - 1\mathbf{k}
$$
即
$$
\mathbf{n} = (0,9,-1)
$$
取点 $A(4,0,-2)$，平面方程为：
$$
0\cdot(x-4) + 9\cdot(y-0) + (-1)\cdot(z+2) = 0
$$
化简得：
$$
9y - (z+2) = 0
$$
即
$$
9y - z - 2 = 0
$$
因此所求平面方程为：
$$
\boxed{9y - z - 2 = 0}
$$
难度：★★☆☆☆
（涉及空间解析几何中平面方程与方向向量、叉积的基本运算，计算量小，思路直接）