人邮高数 第5章 第5-3-1题
📝 题目
1．求满足下列条件的直线方程．
（1）过点 $(2,-1,4)$ 且与直线 $\displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{2}$ 平行；
（2）过点 $(2,-3,5)$ 且与平面 $9 x-4 y+2 z-1=0$ 垂直；
（3）过点 $(3,4,-4)$ 和 $(3,-2,2)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1）
已知直线方向向量为
$$
\vec{s} = (3, -1, 2)
$$
所求直线与它平行，且过点 $(2, -1, 4)$，则对称式方程为
$$
\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 4}{2}
$$
参数式方程为
$$
\begin{cases}
x = 2 + 3t, \\
y = -1 - t, \\
z = 4 + 2t
\end{cases}
\quad (t \in \mathbb{R})
$$
（2）
平面法向量为
$$
\vec{n} = (9, -4, 2)
$$
直线与平面垂直，故直线的方向向量可取为 $\vec{n}$，且过点 $(2, -3, 5)$，则对称式方程为
$$
\frac{x - 2}{9} = \frac{y + 3}{-4} = \frac{z - 5}{2}
$$
参数式方程为
$$
\begin{cases}
x = 2 + 9t, \\
y = -3 - 4t, \\
z = 5 + 2t
\end{cases}
\quad (t \in \mathbb{R})
$$
（3）
过两点 $(3, 4, -4)$ 和 $(3, -2, 2)$，方向向量为
$$
\vec{v} = (3 - 3,\; -2 - 4,\; 2 - (-4)) = (0, -6, 6)
$$
可简化为 $(0, -1, 1)$。取点 $(3, 4, -4)$，则对称式方程为
$$
\frac{x - 3}{0} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z + 4}{1}
$$
（注意 $x$ 方向分量为 0，表示直线垂直于 $x$ 轴，即 $x = 3$ 恒定）
参数式方程为
$$
\begin{cases}
x = 3, \\
y = 4 - t, \\
z = -4 + t
\end{cases}
\quad (t \in \mathbb{R})
$$
难度：★☆☆☆☆