人邮高数 第5章 第5-3-13题
📝 题目
13．求点 $P_{0}(2,3,1)$ 在直线 $\displaystyle l: \frac{x+7}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+2}{3}$ 上的投影．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求点 $P_0(2,3,1)$ 在直线
$$
l:\ \frac{x+7}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+2}{3}
$$
上的投影点坐标。
第一步：将直线化为参数方程
由对称式方程可得方向向量为 $\vec{s}=(1,2,3)$，且直线上一点可取 $(-7,-2,-2)$。
令参数为 $t$，则直线参数方程为：
$$
\begin{cases}
x = -7 + t,\$$2pt]
y = -2 + 2t,\$$2pt]
z = -2 + 3t.
\end{cases}
$$
第二步：设投影点为参数对应点
设投影点 $Q$ 对应参数 $t_0$，则
$$
Q = (-7 + t_0,\ -2 + 2t_0,\ -2 + 3t_0).
$$
第三步：利用垂直条件建立方程
向量 $\overrightarrow{P_0Q}$ 为：
$$
\overrightarrow{P_0Q} = ( -7 + t_0 - 2,\ -2 + 2t_0 - 3,\ -2 + 3t_0 - 1 )
= ( t_0 - 9,\ 2t_0 - 5,\ 3t_0 - 3).
$$
由于 $Q$ 是投影点，$\overrightarrow{P_0Q}$ 应与直线方向向量 $\vec{s}=(1,2,3)$ 垂直，即点积为零：
$$
( t_0 - 9 ) \cdot 1 + (2t_0 - 5) \cdot 2 + (3t_0 - 3) \cdot 3 = 0.
$$
第四步：解方程
计算：
$$
t_0 - 9 + 4t_0 - 10 + 9t_0 - 9 = 0,
$$
$$
(1+4+9)t_0 - (9+10+9) = 0,
$$
$$
14t_0 - 28 = 0,
$$
得
$$
t_0 = 2.
$$
第五步：求投影点坐标
代入参数方程：
$$
x = -7 + 2 = -5,\quad
y = -2 + 4 = 2,\quad
z = -2 + 6 = 4.
$$
因此投影点为
$$
\boxed{(-5,2,4)}.
$$
难度：★☆☆☆☆