人邮高数 第5章 第5-3-15题
📝 题目
15．求过点 $A(1,0,-2)$ ，且与平面 $\Pi: 3 x-y+2 z+3=0$ 平行，并与直线 $\displaystyle l_{1}: \frac{x-1}{4} =\frac{y-3}{-2}=\frac{z}{1}$ 相交的直线 $l$ 的方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求过点 $A(1,0,-2)$ 的直线 $l$，满足两个条件：
(1) 与平面 $\Pi: 3x - y + 2z + 3 = 0$ 平行；
(2) 与直线 $l_1: \displaystyle{\frac{x-1}{4} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z}{1}}$ 相交。
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第一步：确定方向向量的条件
设直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{s} = (a, b, c)$。
因为与平面 $\Pi$ 平行，所以方向向量垂直于平面的法向量 $\vec{n} = (3, -1, 2)$，即
$$
3a - b + 2c = 0. \tag{1}
$$
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第二步：利用相交条件
直线 $l_1$ 过点 $B(1,3,0)$，方向向量 $\vec{s_1} = (4, -2, 1)$。
直线 $l$ 过点 $A(1,0,-2)$，方向向量 $\vec{s} = (a,b,c)$。
两直线相交的条件：向量 $\overrightarrow{AB} = (0, 3, 2)$ 与 $\vec{s}, \vec{s_1}$ 共面，即混合积为零：
$$
\begin{vmatrix}
0 & 3 & 2 \\
a & b & c \\
4 & -2 & 1
\end{vmatrix} = 0.
$$
展开行列式：
$$
0 \cdot \begin{vmatrix} b & c \\ -2 & 1 \end{vmatrix}
- 3 \cdot \begin{vmatrix} a & c \\ 4 & 1 \end{vmatrix}
+ 2 \cdot \begin{vmatrix} a & b \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = 0,
$$
即
$$
-3(a \cdot 1 - c \cdot 4) + 2\big(a \cdot (-2) - b \cdot 4\big) = 0,
$$
$$
-3(a - 4c) + 2(-2a - 4b) = 0,
$$
$$
-3a + 12c -4a -8b = 0,
$$
$$
-7a - 8b + 12c = 0. \tag{2}
$$
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第三步：解方程组求方向向量
联立 (1) 和 (2)：
$$
\begin{cases}
3a - b + 2c = 0, \\
-7a - 8b + 12c = 0.
\end{cases}
$$
由(1)得 $b = 3a + 2c$，代入(2)：
$$
-7a - 8(3a + 2c) + 12c = 0,
$$
$$
-7a - 24a - 16c + 12c = 0,
$$
$$
-31a - 4c = 0 \quad\Rightarrow\quad c = -\frac{31}{4}a.
$$
取 $a = 4$，则 $c = -31$，代入 $b = 3\cdot4 + 2(-31) = 12 - 62 = -50$。
所以方向向量可取 $\vec{s} = (4, -50, -31)$，约去公因子？检查最大公约数为1，保留即可。
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第四步：写出直线方程
过点 $A(1,0,-2)$，方向向量 $(4, -50, -31)$，对称式方程为：
$$
\frac{x-1}{4} = \frac{y-0}{-50} = \frac{z+2}{-31}.
$$
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难度评级：★★★☆☆
（需要综合运用平行条件与相交条件，涉及向量代数与线性方程组，中等难度。）