人邮高数 第5章 第5-4-8题
📝 题目
8．指出下列方程表示的曲面名称，如果是旋转曲面，说明它们是怎样形成的．
（1）$x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=1$ ；
（2） $2 z=x^{2}+y^{2}$ ；
（3）$z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ；
（4） $9 x^{2}+y^{2}+z^{2}=36$ ；
（5）$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$ ；
（6）$z=2 x^{2}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下依次分析各方程表示的曲面名称，并判断是否为旋转曲面，若是则说明其形成方式。
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（1）$x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=1$
方程改写为：
$$
\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{2}}+\frac{z^{2}}{\frac{1}{3}}=1
$$
这是椭球面，三个半轴长度不同，不是旋转曲面（因为旋转曲面要求至少两个系数相等）。
曲面名称：椭球面
是否旋转曲面：否
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（2）$2 z=x^{2}+y^{2}$
改写为：
$$
z = \frac{x^{2}+y^{2}}{2}
$$
这是旋转抛物面，由抛物线 $z = \frac{x^{2}}{2}$ 绕 $z$ 轴旋转而成。
曲面名称：旋转抛物面
形成方式：$xOz$ 平面上的抛物线 $z = \frac{x^{2}}{2}$ 绕 $z$ 轴旋转一周
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（3）$z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
这是圆锥面的上半部分（倒置），由直线 $z = 1 - r$ 绕 $z$ 轴旋转而成，其中 $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$。
曲面名称：圆锥面（或锥面）
形成方式：$xOz$ 平面上的直线 $z = 1 - |x|$ 绕 $z$ 轴旋转
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（4）$9 x^{2}+y^{2}+z^{2}=36$
改写为：
$$
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{36}+\frac{z^{2}}{36}=1
$$
由于 $y^2$ 与 $z^2$ 系数相同，这是旋转椭球面，由椭圆绕 $x$ 轴旋转而成。
曲面名称：旋转椭球面（长球面）
形成方式：$xOy$ 平面上的椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{36}=1$ 绕 $x$ 轴旋转
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（5）$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$
配方得：
$$
x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1
$$
这是球心在 $(0,0,1)$、半径为 $1$ 的球面，球面是旋转曲面。
曲面名称：球面
形成方式：圆 $x^{2}+(z-1)^{2}=1$ 绕 $z$ 轴旋转
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（6）$z=2 x^{2}$
方程不含 $y$，表示在三维空间中母线平行于 $y$ 轴的抛物柱面。
曲面名称：抛物柱面
是否旋转曲面：否
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难度评级：★☆☆☆☆
（基础题，只需识别二次曲面标准形式与旋转条件）