人邮高数 第6章 第6-1-6题
📝 题目
6．判定下列函数在何处间断．
（1）$\displaystyle z=\frac{\mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}-1}$ ；
（2）$\displaystyle z=\frac{y^{2}+2 x}{y^{2}-2 x}$ ；
（3）$\displaystyle z=\frac{x+y}{y-2 x^{2}}$ ；
（4）$\displaystyle z=\sin \frac{1}{x+y}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下依次判定各函数的间断点（即函数无定义的点）。
---
（1）
函数
$$
z=\frac{\mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}-1}
$$
分母为零时函数无定义，即
$$
x^{2}+y^{2}-1=0
$$
所以间断点为圆周
$$
\boxed{x^{2}+y^{2}=1}
$$
所有该圆周上的点均为间断点。
---
（2）
函数
$$
z=\frac{y^{2}+2x}{y^{2}-2x}
$$
分母为零时无定义，即
$$
y^{2}-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{y^{2}}{2}
$$
所以间断点为抛物线
$$
\boxed{x=\frac{y^{2}}{2}}
$$
所有该抛物线上的点均为间断点。
---
（3）
函数
$$
z=\frac{x+y}{y-2x^{2}}
$$
分母为零时无定义，即
$$
y-2x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad y=2x^{2}
$$
所以间断点为抛物线
$$
\boxed{y=2x^{2}}
$$
所有该抛物线上的点均为间断点。
---
（4）
函数
$$
z=\sin\frac{1}{x+y}
$$
当分母为零时无定义，即
$$
x+y=0
$$
所以间断点为直线
$$
\boxed{x+y=0}
$$
所有该直线上的点均为间断点。
---
难度评级：★☆☆☆☆
所有题目仅需找出分母为零的曲线或直线，属于基础判断。