人邮高数 第6章 第6-2-11题

[AI解答]

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求全微分即求函数的所有一阶偏导数，然后组合成微分形式。下面逐题求解。

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（1）$ z = \frac{y}{x} $

先求偏导数：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left( x^{-1} \right) = y \cdot (-x^{-2}) = -\frac{y}{x^{2}}
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x}
$$
因此全微分为：
$$
\mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{d}y = -\frac{y}{x^{2}} \mathrm{d}x + \frac{1}{x} \mathrm{d}y
$$

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（2）$ z = \ln(x^{2} + y^{2}) $

求偏导：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}+y^{2}} \cdot 2x = \frac{2x}{x^{2}+y^{2}}
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x^{2}+y^{2}}
$$
全微分为：
$$
\mathrm{d}z = \frac{2x}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{d}x + \frac{2y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{d}y
$$

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（3）$ u = e^{z + \frac{x}{y}} $

这是三元函数 $ u(x,y,z) $，分别对 $x, y, z$ 求偏导：

对 $x$：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = e^{z + \frac{x}{y}} \cdot \frac{1}{y}
$$
对 $y$：
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = e^{z + \frac{x}{y}} \cdot \left( -\frac{x}{y^{2}} \right)
$$
对 $z$：
$$
\frac{\partial u}{\partial z} = e^{z + \frac{x}{y}} \cdot 1
$$
因此全微分为：
$$
\mathrm{d}u = e^{z + \frac{x}{y}} \left( \frac{1}{y} \mathrm{d}x - \frac{x}{y^{2}} \mathrm{d}y + \mathrm{d}z \right)
$$

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（4）$ u = x^{2} y z + \cos 2y $

三元函数，分别求偏导：

对 $x$：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x y z
$$
对 $y$：
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = x^{2} z - 2\sin 2y
$$
对 $z$：
$$
\frac{\partial u}{\partial z} = x^{2} y
$$
全微分为：
$$
\mathrm{d}u = 2xyz \, \mathrm{d}x + (x^{2}z - 2\sin 2y) \, \mathrm{d}y + x^{2}y \, \mathrm{d}z
$$

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难度评级：★☆☆☆☆
均为直接求偏导代入公式，无复杂复合或隐函数，属于基础计算题。