人邮高数 第6章 第6-3-32题
📝 题目
32．求函数 $z=\cos (x+y)$ 在点 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 处沿向量（ $3,-4$ ）的方向的方向导数．
💡 答案解析
[AI解答]
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要求函数 $z = \cos(x+y)$ 在点 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 处沿向量 $(3, -4)$ 的方向导数，步骤如下：
1. 计算梯度
函数 $z = \cos(x+y)$ 的偏导数为：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = -\sin(x+y), \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\sin(x+y)
$$
在点 $(0, \frac{\pi}{2})$ 处：
$$
x+y = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}
$$
所以：
$$
\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(0,\frac{\pi}{2})} = -\sin\frac{\pi}{2} = -1
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(0,\frac{\pi}{2})} = -1
$$
因此梯度向量：
$$
\nabla z = (-1, -1)
$$
2. 求方向向量单位化
给定方向向量 $\mathbf{v} = (3, -4)$，其模长：
$$
|\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5
$$
单位方向向量：
$$
\mathbf{l} = \left( \frac{3}{5}, -\frac{4}{5} \right)
$$
3. 计算方向导数
方向导数公式：
$$
\frac{\partial z}{\partial l}\bigg|_{(0,\frac{\pi}{2})} = \nabla z \cdot \mathbf{l}
$$
代入：
$$
= (-1, -1) \cdot \left( \frac{3}{5}, -\frac{4}{5} \right)
= (-1)\cdot\frac{3}{5} + (-1)\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)
= -\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{1}{5}
$$
因此，方向导数为 $\displaystyle \frac{1}{5}$。
难度：★☆☆☆☆